本文介紹一個公式，可以簡捷準確地求出直線被拋物線截得的弦長，還可以利用它來判斷直線與拋物線位置關係及解決一些與弦長有關的題目。方法簡單明了，以供參考。 拋物線弓形面積公式等於：以割線為底，以平行於底的切線的切點為頂點的內接三角形的4/3，即： 拋物線弓形面積=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
基本介紹
- 中文名：拋物線弓形面積公式
- 性質：面積公式
- 屬性：拋物線
- 所屬類別：數學
拋物線弦長公式,推論,套用,
拋物線弦長公式
定理直線y=kx+b(k≠0）被拋物線y2=2Px截得的弦AB的長度為
∣AB∣=①
證明由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
當直線y=kx+b(k≠0）過焦點時，b=－，代入①得∣AB∣=P（1+k2），
於是得出下面推論：
推論
推論1過焦點的直線y=kx－（k ≠0）被拋物線y2=2Px截得的弦
AB的長度為
∣AB∣=P（1+k2） ②
在①中，由容易得出下面推論：
推論2己知直線l: y=kx+b(k≠0）及拋物線C:y2=2Px
Ⅰ）當P>2bk時，l與C交於兩點（相交）;
Ⅱ）當P=2bk時，l與C交於一點（相切）；
Ⅲ）當P<2bk時，l與C無交點（相離）.
下面介紹定理及推論的一些套用：
套用
例1求直線y=x+被拋物線y=x2截得的線段的長?
分析：題中所給方程與定理中的方程形式不一致，可把x看成y用①即可.
解曲線方程可變形為x2=2y則P=1，直線方程可變形為x=y－，
即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2 求直線2x+y+1=0到曲線y2－2x－2y+3=0的最短距離.
分析：可求與已知直線平行並和曲
線相切的直線，二直線間距離即為要求的最短距離.
解曲線可變形為（y－1）2=2(x－1）則P=1，由2x+y+1=0知k=－2.由推論2，令2bk=P，解得b=－.∴所求直線方
程為y－1=－2(x－1）－，即2x+y－=0. ∴.
故所求最短距離為.
例3 當直線y=kx+1與曲線y=－1有交點時，求k的範圍.
解 曲線可變形為（y+1）2=x+1
（x≥－1,y≥－1），則P=1/2.直線相應地可變為 y+1=k(x+1）－k+2，∴b=2-k.由推論2，令2bk≤P，即2k（2－k）≤，解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+時直線與曲線有交點.
註：曲線作怎樣變形，直線也必須作相應平移變形，否則會出現錯誤.
例4 拋物線y2=2Px內接直角三角形，一直角邊所在直線為y=2x，斜邊長為5.求拋物線的方程.
解設直角三角形為AOB.由題設知kOA=2,kOB=－.由①，|OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2，得P=.∴拋物線方程為y2=x.
例5設O為拋物線的頂點，F為焦點，PQ為過的弦，己知∣OF∣=a，∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O為原點，OF為x軸建立直角坐標系（見圖），依題設條件，拋物線方程為y2=4ax(P=2a），設PQ的斜率為k，由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin（π－θ）=ab sinθ=.
