弓形面積公式

弓形面積公式(area formula of the segment of a circle)是平面幾何的基本公式之一，用來計算弓形面積的公式。把弓形弧兩端與圓心連結得一個扇形和一個三角形，當弓形弧為劣弧時，弓形面積等於扇形面積減去三角形面積；當弓形弧為優弧時，弓形面積等於扇形面積加上三角形面積。

基本介紹

• 中文名：弓形面積公式
• 外文名：area formula of the segment of a circle
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何

基本介紹

設弓形AB所對的弧為弧AB，那么:

當弧AB是劣弧時，那么S_弓形=S_扇形-S_△AOB(A、B是弧的端點，O是圓心)。

當弧AB是半圓時，那么S_弓形=S扇形=1/2S圓=1/2×πr²。

當弧AB是優弧時，那么S_弓形=S扇形+S_△AOB(A、B是弧的端點，O是圓心)。

計算公式分別是:

當弧 是劣弧時， 。

當弧 是半圓時， 。

當弧 是優弧時， 。

其中， 為弧對應的角度， 為半徑， 為弦長， 為三角形的高。

l為弧長，h'為弓形的高。

證明：

圖1 劣弧（左）和優弧（右）

通常，弓形是一個扇形減去一個三角(劣弧弓)或一個扇形加上一個三角(優弧弓)。觀察三角形，可以發現這是一個等腰三角。它的兩個腰是扇形的半徑。弓形的弦長和三角形的底或者說三角形除去兩個腰以後的第三條邊相同。對劣弧弓來說，三角的高h加上弓形的高h'就是扇形半徑；而對於優弧弓，弓形的高h'減去扇形半徑r就是三角的高h。

而扇形的面積計算可以採用。而在三角形中，弓形的弦和三角型的高線以及弓形半徑正好構成一個直角三角形。這樣就有或 (勾股定理)

其中，左式適用於劣弧弓，右式則適用於優弧弓。左式展開得。右式展開得。可以看出左右兩式完全一致。從中得出

對於劣弧弓，其三角形面積是；對於優弧弓，其三角形面積是

對於劣弧弓面積，就是展開後

優弧弓面積是展開後得

仔細觀察劣弧弓和優弧弓面積的展開式。可以發現兩者完全一樣。

把前面求出的r值代入得

通分，得，分子中，第一，第三項提取公因子，第二、四項提取公因子則分子部分變成。這樣，整個式子就成了。證明完畢。

在不知道或者不能測定弓形半徑的時候可以使用這個式子計算弓形面積。

廣義弓形面積公式

由一條圓弧和經過該弧的兩個端點的弦所圍成的圖形叫做圓弓形，通常也叫做弓形。

更一般地，把曲線和弦所圍成的圖形叫做弓形。例如，拋物線和弦所圍成的圖形AOC (下圖)，古希臘阿基米得曾求得了這一拋物線弓形的面積的公式：對於弓形AOC，過弦AC的中點作弓形弧所在拋物線的對稱軸的平行線，和拋物線交於點B，則弓形AOC面積= 4/3△ABC面積。

圖2