優弧

圓上任意兩點間的部分叫做弧。直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫半圓。大於半圓的弧叫優弧。小於半圓的弧叫做劣弧。

基本介紹

• 中文名：優弧
• 外文名：major arc
• 所屬學科：數學
• 定義：大於半圓的弧叫優弧
• 相關概念：弧、劣弧等

弧的定義

圓上任意兩點間的部分叫做弧。用符號” ”表示弧。例如，圖中以 為端點的弧．記作 ，讀作弧 。

設半徑為 的圓中， °的圓心角所對的弧長為 ，則弧長公式為： .

圖1

優弧的定義

大於半圓的弧叫做優弧。例如上圖中的 就是優弧．讀作弧 。

劣弧

小於半圓的弧叫做劣弧。上圖中的 就是劣弧，讀作弧 。

沒有註明時，所說的弧一般是指劣弧。

半圓

在一個圓中，任意一條直徑的兩個端點，把圓分成兩條相等的弧。其中每一條弧叫做半圓。

弧的相關性質

圓內、圓心角、弧、弦、弦心距的性質

(1)在同圓或等圓內，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等；所對的弦相等；所對弦上的弦心距相等(逆命題也成立)。

(2)在同圓或等圓內，如果圓心角不等，那么圓心角大的所對的弧大；所對的弦大；所對弦上的弦心距小(逆命題也成立)。

圓內、直徑、弦、弧的性質

(1)在圓內，如果直徑垂直弦，那么這直徑平分這弦；平分這弦所對的弦。

(2)在圓內，如果直徑平分弦(這弦本身不是直徑)，那么這直徑垂直這弦；並平分這弦所對的弧。

(3)在圓內，如果直徑平分弧，那么這直徑垂直平分這弧所對的弦。

(4)在圓內，弦的垂直平分線通過圓心。

(5)在圓內，二平行弦所夾的弧相等。

相關命題舉例

命題1 在相等圓中，等弦截出相等的弧，優弧等於優弧，劣弧等於劣弧。

圖2

圖3

設：圓ABC與圓DEF相等，弦AB等於弦DE，切分的優弧為ACB和DFE，劣弧為AGB和DHE。

求證:優弧ACB等於優弧DFE，劣弧AGB等於劣弧DHE。

證明：令:K，L分別為兩圓的圓心，連線AK、KB、DL和LE 。因為圓相等，那么半徑相等，所以:AK、KB分別等於DL、LE，且第三邊AB等於第三邊DE。所以:∠AKB等於∠DLE 。又，因為當它們是圓心角時，它們所對的弧相等，所以:弧AGB等於弧DHE。

又:圓ABC也等於圓DEF。

所以:弧ACB也等於弧DFE。

所以:在相等圓中，等弦截出相等的弧，優弧等於優弧，劣弧等於劣弧。

命題2 在相等圓內，相等的圓周角或圓心角所對的弧相等。

設：ABC、DEF為相等圓．在其內作相等圓心角和圓周角．即圓心角∠BGC、∠EHF，圓周角∠BAC、∠EDF。

求證：圓周角∠BKC等於圓周角∠ELF。

圖4

圖5

證明： 令：連線BC、EF。

既然圓ABC等於圓DEF，那么半徑相等。

所以：線段BG、GC就等於線段EH、HF．在G點的角等於在H點的角。所以：第三邊BC等於第三邊EF。

又因為在A點的角等於在D點的角，所以：弓形BAC相似於弓形EDF，它們立於相等線段上。

因為，在相等線段上的相似弓形彼此相等，所以，弓形BAC等於弓形EDF。

又因為，整圓ABC也等於整圓DEF，所以，余弧BKC等於余弧ELF。

所以：在相等圓內，相等的圓周角或圓心角所對的弧相等。

更多關於弧的性質的詳細證明可參考文後相關參考書籍。