求解與時間相關的反問題的區域分解方法

《求解與時間相關的反問題的區域分解方法》是依託華中師範大學，由蔣代軍擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：求解與時間相關的反問題的區域分解方法
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：蔣代軍
• 依託單位：華中師範大學

項目摘要

在很多實際工程套用和數學基礎研究中都出現了大量不適定的反問題，求解這些不適定反問題的一種最穩定和有效的方法是通過Tikhonov正則化方法將它們轉化成為一個穩定的最佳化問題。因此與正問題相比，求解反問題通常更具有挑戰性。區域分解方法是一種利用大規模並行機去求解大規模正問題的最自然和最成功的方法之一。但是對於怎樣套用區域分解方法在理論上和數值上有效求解反問題的研究還很少。在本項目中，我們將提出一些新的求解某些與時間相關反問題的重疊區域分解方法，並且在理論上給出相應的收斂性分析。這些算法將會體現區域分解方法的精髓，也就是說通過疊代過程去求解穩定的最佳化系統，並且在每個疊代過程中都只是在子區域內求解更小的最佳化問題；我們希望這樣構造的重疊區域分解方法相對於觀測數據誤差是有效的、可靠的，更重要的是希望對於某個給定的精度這些方法的總疊代次數隨著有限元格線的細分和子區域個數的增加而增長得非常慢。

結題摘要

區域分解方法是一種利用大規模並行機去求解大規模正問題的最自然和最成功的方法之一，但是對於怎樣套用區域分解方法在理論上和數值上有效求解反問題的研究還很少。本項目組成員按照項目申請書的預定計畫展開研究工作，設計了一些求解線性與非線性反問題的區域分解方法本項目組成員按照項目申請書的預定計畫開展研究工作，圓滿的完成了預定的研究工作。主要在以下幾個方面取得了一些成果： （1）設計了幾種有效求解某些線性反問題的重疊區域分解算法。用區域分解方法求解反問題最困難的問題之一是正問題模型的解全局依賴於待識別的參數，也就是說即使只需要局部更新參數，但是仍然需要全局求解正問題，因此並沒有真正減少全局計算。我們設計的算法克服了這個困難，僅僅需要計算每個子區域內的局部正問題及其對偶問題。大量的數值結果表明這些算法是穩定、有效的，特別地，算法的收斂性接近最優，也就是說當格線步長減小時外部疊代次數幾乎穩定或者增長很慢。 （2）研究了用吉洪諾夫正則化方法識別麥克斯韋方程中的磁滲透率的收斂率問題。在研究收斂率問題中，最難的問題之一是能夠構造出一個源條件從而得到相應的收斂率結果，並且給出的源條件要能夠被嚴格驗證。我們給出了一個容易解釋並且能夠嚴格證明的源條件，最終得到了標準的收斂率結果。 （3） 研究了套用Levenberg-Marquardt方法求解橢圓和拋物型系統中的非線性Robin反問題的二階收斂性。我們先證明了所考慮的Robin反問題的唯一性，然後根據此唯一性，通過給定一些合理的假設，嚴格證明了Levenberg-Marquardt方法求解該Robin反問題是二階收斂的。最後，我們設計了替代函式算法求解由Levenberg-Marquardt方法轉化而成的凸最佳化系統。 （4） 設計了幾種有效的重疊區域分解算法求解橢圓和拋物方程中的非線性Robin反問題。由於（2）中研究了套用Levenberg-Marquardt方法將非凸的最佳化系統轉化成為凸最佳化系統是二階收斂的。因此，我們設計了類似於求解線性反問題的重疊區域分解算法去求解該凸最佳化問題。這些算法經數值計算驗證也是非常穩定、有效的：只需要在每個子區域內計算局部正問題及其對偶問題，並且當格線步長減小時外部疊代次數也幾乎穩定或者增長很慢。