《求解逆問題的快速有效隨機算法及其套用》是依託武漢大學，由向華擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：求解逆問題的快速有效隨機算法及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：向華
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
由於問題的規模和不適定性，如何有效快速求解規模特別大的反問題一值是數學，工程和科學計算領域的一項巨大挑戰。在本項目中，我們將研究較一般形式的包含一個或兩個正則化參數的正則化策略，同時設計隨機算法，快速有效求解所涉及的反問題的正則化非線性最佳化系統。我們將設計隨機算法，大大縮減反問題的規模，使得我們的計算過程僅需求解規模較小且非常穩定的非線性最佳化系統，並結合經典的方法確定正則化參數。我們將套用新的快速有效隨機算法於心電逆問題的計算，用兩參數正則化方法，根據體表測得的電位重構心臟表面電位分布，更準確定位心臟表面電位異常區域（特別是邊界），為臨床診斷提供必要的技術支持。
結題摘要
隨機策略求解反問題的高效性受人關注，我們進一步研究了隨機算法，包括隨機矩陣分解和隨機疊代。隨機矩陣分解包括隨機整體最小二乘和隨機QLP分解。在隨機疊代算法方面，提出了投影隨機Kaczmarz方法，特別是右端項有噪聲時的半收斂性和求最小二乘解的擴充形式；分析了隨機行疊代在求解超定不相容線性方程組時的半收斂性，提出擴充隨機行疊代算法並證明收斂性；提出了廣義隨機擴充G-S算法，交替運用隨機Kaczmarz方法和隨機G-S方法來有效求解相容或不相容問題。進一步考慮到隨機算法在量子計算機上的實現，基於Block-encoding技術實現了Kaczmarz方法和坐標下降法的量子算法。對線性反問題，難點在於正則化參數的選取。考慮在量子計算機上的正則化問題求解，用量子算法確定正則化參數，對於試選參數個數是平方加速。對於橢圓和拋物型方程中非線性的Robin反問題，套用Tikhonov正則化方法和L-M方法轉化成為凸最佳化問題，設計了基於區域分解的幾種有效求解方法，並考察了一般帶兩個參數的非線性反問題。
