正弦公式

正弦公式是描述正弦定理的相關公式，而正弦定理是三角學中的一個基本定理，它指出：在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓的直徑。幾何意義上，正弦公式即為正弦定理。

基本介紹

• 中文名：正弦公式
• 外文名：Sine Law
• 別稱：正弦定理
• 描述：各邊和它所對角的正弦的比相等
• 套用領域：幾何學

定義

正弦公式是三角學中的一個公式。它指出：對於任意 ， 、 、 分別為 、 、 的對邊， 為 的外接圓半徑，則有

公式證明

1.證明一

做一個邊長為a，b，c的三角形，對應角分別是A，B，C。從 向c邊做垂線，得到一個長度為h的垂線和兩個直角三角形。

圖1.餘弦公式證明方法一

很明顯：

且

因此：

同理：

2.證明二

作三角形ABC的外接圓，設半徑為R，BC=a

1) 角A為銳角時

圖2.餘弦公式證明-銳角時

由於∠A與∠D所對的弧都為BC，根據圓周角定理可了解道

由於BD為外接圓直徑，

所以

2）角A為直角時

圖3.餘弦公式證明-直角時

因為BC =a= 2R，可以得到

所以可以證明，

3)角A為鈍角時

線段BD是圓的直徑，根據圓內接四邊形對角互補的性質，

所以

圖4.餘弦公式證明-鈍角時

因為BD為外接圓的直徑 根據正弦定義

變形可得

根據以上的證明方法可以證明得到得到三角形的一條邊與其對角的正弦值的比等於外接圓的直徑，即

意義

正弦公式指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。

公式套用

1.三面角正弦定理

若三面角的三個面角分別為α、β、γ，它們所對的二面角分別為A、B、C,則

2.多邊形的正弦關係

圖6.多邊形的正弦關係