正切半角公式

正切半角公式,又稱萬能公式,被稱為以切表弦公式,簡稱以切表弦。

基本介紹

  • 中文名:正切半角公式
  • 外文名:Tangent half-angle formula
  • 分類:數理科學
簡介,萬能公式的證明,幾何證明,雙曲函式,

簡介

正切半角公式,又稱萬能公式,這一組公式有四個功能:
將角統一為
將函式名稱統一為
任意實數都可以
的形式表達,可用正切函式換元。
在某些積分中,可以將含有三角函式的積分變為有理分式的積分。
因此,這組公式被稱為以切表弦公式,簡稱以切表弦。它們是由二倍角公式求得的。
而被稱為萬能公式的原因是利用
的代換可以解決一些有關三角函式的積分。

萬能公式的證明

二倍角公式,有:
再由同角三角函式間的關係,得出

幾何證明

正切半角公式
圖示
單位圓內,t = tan(φ/2)。根據相似關係,
,可得出
顯然

雙曲函式

此公式亦可以對雙曲函式起到類似的作用,由雙曲線右支上的一(coshθ,sinhθ)給出。從(−1,0)到y給出了如下等式
可以得到
卡爾·維爾斯特拉斯引入這個式子來省去查找原函式的麻煩。
θ在T而得出下面的雙曲反正切函式和自然對數之間的關係:

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