正交級數

歷史

傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅立葉(1768年–1830年)，他提出任何函式都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非周期函式的三角級數展開，而認定一個函式有三角級數展開之後，通過積分方法計算其係數的公式，歐拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現，傅立葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他的現在被稱為傅立葉逆轉定理的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將周期函式分解為簡單振盪函式的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的套用。

定義

在這一節中，

表示實變數

的一個函式，且

在

上可積，

和

為實數。我們將嘗試用諧波關係的正弦函式的無窮和或級數來表示該區間內的

。在區間外，級數以

為周期（頻率為

）。若也具有該性質，則它的近似在整個實數線上有效。我們可以從有限求和（或部分和）開始：

為周期為P的周期函式。運用恆等式：

延伸

希爾伯特空間的解讀

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

在希爾伯特空間釋義下，函式的集合{e_n=e^inx;n∈Z}是[−π,π]平方可積函式L²([−π,π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素f和g的如下內積:

三角函式族的正交性用公式表示出來就是：