極大濾子

極大濾子(maximal filter)亦稱超濾子，是一類特殊的濾子。設F是集合X上的濾子，若對於包含F的濾子H恆有F=H，則稱F為極大濾子，對於集合X上的任意濾子F，恆存在包含F的極大濾子，若F為X上極大濾子，則對於任意AX，必有A∈F或X-A∈F。

基本介紹

• 中文名：極大濾子
• 外文名：maximal filter
• 所屬學科：數學
• 別名：超濾子
• 所屬領域：一般拓撲學
• 相關概念：極大理想、真濾子、真理想等
• 類型：一般拓撲學領域術語

定義

定義一

設 是格L的真理想，若真正包含 的理想只有L，則稱 是L的極大理想。設F是格L的真濾子，若真正包含F的濾子只有L，則稱F是格L的極大濾子，簡稱超濾子。

定義二

極大濾子(maximal filter)亦稱超濾子，是一類特殊的濾子。設F是集合X上的濾子，若對於包含F的濾子H恆有F=H，則稱F為極大濾子，對於集合X上的任意濾子F，恆存在包含F的極大濾子，若F為X上極大濾子，則對於任意AX，必有A∈F或X-A∈F。

相關概念

設(X，≤)是偏序集， 記

定義1 設(X，≤)是偏序集， 若A=↑A，則稱A為上集；若A=↓A，則稱A為下集。

顯然，偏序集X的子集A是一個上集的充分必要條件是，若a≤b，則b∈A；A是下集的充分必要條件是，若b≤a，則b∈A。

定義2 設L是格，I是L的非空子集，若I是上定向集，即，則稱I為L的理想基；若I是L的理想基又是下集，則稱I是L的理想。

定義3 設L是格，F是L的非空子集，若F是下定向集，即，則稱F是L的濾子基；若F是L的濾子基又是上集，則稱F是L的濾子。

顯然，格L的理想和濾子是L的子格。

定義4 不等於L的理想(濾子)稱為L的真理想(真濾子)。

顯然，有最大元1的格的理想I是真理想的充分必要條件是；有最小元0的格的濾子F是真濾子的充分必要條件是。

定義5設L是格，I是L的真理想，若I滿足：，若，則或，稱I是L的素理想。

設F是L的真濾子，若F滿足：，若，則或，稱F是L的素濾子。

易證，格L的子集I是素理想若且唯若L-I是L的素濾子。

相關定理

定理1設L是有最大元1的分配格，則L中的極大理想均為素理想；對應地，有最小元0的分配格中，任一超濾子均為素濾子。

證明：設 是L的極大理想， ，若 ，且 ，現證 ，令

易證 是包含 和 的理想，由於 是極大理想，所以 =L，由於1∈L= ，則存在 從而 ，由於b≤bVd，故 所以 是素理想。

另一部分的證明類似。

在布爾格中有更好的結論。

定理2 設B是布爾格，是B的真理想，則下列條件等價：

(1)是極大理想；

(2)是素理想；

(3)。

證明：(1)(2)定理1已證。

(2)(3)，由於由是素理想知，或，若，且，故，與是真理想矛盾，所以。

(3)(1)設J是真包含的理想，取，則，因此，從而，所以是極大理想。

定理3 設B是布爾格，F是B的真濾子，則下列條件等價：

(1)F是極大濾子；

(2)F是素濾子；

(3)。