梅森數

梅森數(Mersenne number)又稱麥森數，是指形如2^p－1的正整數，其中指數p是素數，常記為Mp 。若其是素數，則稱為梅森素數。

基本介紹

• 中文名：梅森數
• 外文名：Mersenne number
• 開創者：歐幾里得、費馬、馬林·梅森
• 最早開創時間：公元前300多年

概述

梅森數(Mersenne number)又稱麥森數，是指形如2^p－1的正整數，其中指數p是素數，常記為Mp 。若其是素數，則稱為梅森素數。

梅森素數是數論研究中的一項重要內容，自古希臘時代起人們就開始了對梅森素數的探索。由於這種素數具有著獨特的性質（比方說和完全數密切相關）和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多數學家（包括歐幾里得、費馬、歐拉等）和無數的數學愛好者對它進行探究。

素數也叫質數，是只能被自己和1整除的數，如2、3、5、7、11等。2300年前，古希臘數學家歐幾里得證明了素數有無窮多個，並提出少量素數可寫成“2^p-1”的形式，這裡的指數p也是一個素數。由於這種素數具有許多獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家和無數的業餘數學愛好者對它進行探究。

17世紀法國著名數學家梅森曾對“2^p-1”型素數作過較為系統而深入的探究，並作出著名的斷言（現稱“梅森猜想”）。由於他是當時歐洲科學界的中心人物和法蘭西科學院的奠基人，數學界就將“2^p-1”型的素數稱為“梅森素數”，其餘的數稱謂梅森合數。

歷史

馬林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世紀法國著名的數學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物。

1640年6月，費馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質。我相信它們將成為今後解決素數問題的基礎”。這封信討論了形如2^P－1的數（其中p為素數）。早在公元前300多年，古希臘數學家歐幾里得就開創了研究2^P－1的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述完美數時指出：如果2^P－1是素數，則(2^p－1)2^(p－1)是完美數。

梅森在歐幾里得、費馬等人的有關研究的基礎上對2^P－1作了大量的計算、驗證工作，並於1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：對於p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，2^P－1是素數；而對於其他所有小於257的數時，2^P－1是合數。前面的7個數（即2，3，5，7，13，17和19）屬於被證實的部分，是他整理前人的工作得到的；而後面的4個數（即31，67，127和257）屬於被猜測的部分。不過，人們對其斷言仍深信不疑。

雖然梅森的斷言中包含著若干錯誤，但他的工作極大地激發了人們研究2^P－1型素數的熱情，使其擺脫作為“完美數”的附庸的地位。梅森的工作是素數研究的一個轉折點和里程碑。由於梅森學識淵博，才華橫溢，為人熱情以及最早系統而深入地研究2^P－1型的數，為了紀念他，數學界就把這種數稱為“梅森數”；並以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森數為素數，則稱之為“梅森素數”（即2^P－1型素數）。

值得一提的是：在梅森素數的基礎研究方面，法國數學家魯卡斯和美國數學家雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的“盧卡斯-萊默檢驗法”是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。此外，中國數學家和語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找梅森素數提供了方便；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。

美國中央密蘇里大學數學家庫珀領導的研究小組通過參加一個名為“網際網路梅森素數大搜尋”(GIMPS)項目，於2016年1月7日發現了第49個梅森素數——2^74,207,281-1。該素數也是目前已知的最大素數，有22,338,618位。這是庫珀教授第四次通過GIMPS項目發現新的梅森素數，刷新了他的記錄。他上次發現第48個梅森素數2^57,885,161-1是在2013年1月，有17425170位。

梅森素數在當代具有重大意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑，其探究推動了“數學皇后”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程式設計技術和計算機檢測技術的發展。難怪許多科學家認為，梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數學協會主席馬科斯 索托伊甚至認為它的研究進展不但是人類智力發展在數學上的一種標誌，也是整個科技發展的里程碑之一。

所有的奇素數都是準梅森數（2^N-1）的因 子數，凡是一個素數是四倍金字塔數A的因子數，都不是以後梅森合數的因子數，則留下部份素數可能都是梅森合數的因子數。

梅森素數的計算公式

3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M

P是梅森數的指數，M是P以下的梅森素數的個數。

以下是計算的數值與實際數的情況：

指數5，計算2.947，實際3 ，誤差0.053；

指數7，計算3.764，實際4 ，誤差 0.236；

指數13，計算4.891，實際5，誤差0.109；

指數17，計算5.339，實際6，誤差0.661；

指數19，計算5.766，實際7，誤差1.234；

指數31，計算6.746，實際8，誤差1.254；

指數61，計算8.445，實際9，誤差0.555；

指數89，計算9.201，實際10，誤差0.799；

指數107，計算9.697，實際11，誤差1.303；

指數127，計算10.036 ，實際12，誤差1.964；

指數521，計算13.818，實際13，誤差-0.818；

指數607，計算14.259，實際14，誤差-0.259；

指數1279，計算16.306，實際15，誤差-1.306；

指數2203，計算17.573，實際16，誤差-1.573；

指數2281，計算17.941，實際17，誤差-0.941；

這個公式是根據梅森素數的分布規律得出的。萬數1為首，1被除外了，所以要減去1。在不考慮重疊問題，應該P減1就可以了，這裡已考慮重疊問題，所以就P減1.2.在梅森數的指數漸漸增大，1.2是否合適，還要等實際檢驗。

所有的奇素數都是準梅森數（2^N-1）的因 子數，則梅森合數的因子數是只有素數中的一部份。

在2^N-1的數列中，一個素數作為素因子第一次出現在指數N的數中，這個素數作為因子數在2^N-1數列中以N為周期出現。

一個梅森合數的因子數只有唯一一次出現在一個梅森合數中。

一個是梅森素數的素數，它永遠不是梅森合數的因子數。

一個是前面的梅森合數的因子數，它永遠不會是後面的梅森合數的因子數。

所有梅森合數的數因子減1都能被這個梅森合數的指數整除，商是偶數。

梅森素數都在（1+4+16+64+。。。。。。+4A）*6+1數列中（A前項的數），這種數暫時叫它四倍金字塔數，代號A。

在1+4+16+64+。。。。。。+4A數列中的數，是陽性不等數（不等於6NM+-（N+M））的乘以6加上1就是梅森素數。

在2^N-1數列中指數是偶數的都是3A。

證明梅森素數無限多

梅森素數都在指數n是無限多的2^n-1數列中，梅森數和梅森素數隻占其中的很少比例。

根據費馬小定理，每一個奇素數都會以數因子出現在2^n-1數列中，只不過有些提前出現，有些最後出現。只有梅森素數是最早出現在這個數列中的。其他有素數都不會最早出現，最遲出現的素數是在本數減1的數中，也就是費馬小定理的地方。

每一個奇素數都十分有規律作為因子數出現在2^n-1數列中，一個素數第一次出現在2^n-1數中（包括梅森素數），這個素數就以n為周期反覆出現在2^n-1數列中，如3第一次出現在n=2中，指數能被2整除的都有3的因子數;如7第一次出現在n=3，指數能被3整除的都有7的因子數;如5第一次出現在n=4中,指數能被4整除都有5的因子數。

以上的定理不用證明也可以證明梅森素數無限多，因有費馬小定理作保證。

一個素數出現在2^n-1數列n中，不管n是素數不是素數，只要用小於n的全部奇素數去篩，指數n都在其中。如果是合數與前面的素數是重疊的，所以不用重篩了。

要篩完2^n-1數列中所有數因子，必需用少於或等於2^n-1平方根以內的所有素數去篩，這樣剩下沒有篩的就是梅森素數了.

2^n-1的數列是無限多的，無限多的自然數任你篩多少次的幾分之一，永遠是無限多的。所以梅森素數是無限多的。

2018年，Jonathan Pace利用“網際網路梅森素數搜尋”（GIMPS），成功發現第50個梅森素數M77232917，該素數有23249425位。