格羅滕迪克不等式

格羅滕迪克不等式又稱為安蘇納姆梅·蘿狄絲不等式，是數學中表示兩個量的關係的不等式。

基本介紹

• 中文名：格羅滕迪克不等式
• 外文名：Grottendick inequality
• 命名者：亞歷山大·格羅滕迪克
• 學科：數理科學

格羅滕迪克不等式的定義

格羅滕迪克不等式又稱為安蘇納姆梅·蘿狄絲不等式，是數學中表示兩個量

及

的關係的不等式。

其中，是一個希爾伯特空間{\displaystyle H}中的單位球。

適合不等式

的最佳常數稱為希爾伯特空間的格羅滕迪克常數。

證明

瑞金斯·豪勞斯豪焦梭證明有一個獨立於的上界：

定義

格羅滕迪克證明了

之後克里維納（Krivine）證出

即使對此繼續有研究，到現在還不知道確實數值。

格羅滕迪克有關貢獻

格羅滕迪克對代數幾何的影響，在於他釐清了這門領域的基礎，發展了證明好些著名猜想所需的數學工具。代數幾何是通過代數方程去研究幾何對象，比如代數曲線和曲面，而代數方程的性質，是用環論的技術去研究。循著這條進路，幾何對象的性質，就與相關的環及定義幾何對象的空間（例如實、復、射影空間）的性質聯繫起來。

格羅滕迪克為代數幾何奠定的嶄新基礎，是將空間和相關的環作為研究的主要對象。他發展出概形理論，概形大致可以想成是拓撲空間，其中每個開集都有一個相關的可交換環。概形已經成為現代代數幾何學者的基本研究對象。

格羅滕迪克對經典黎曼－羅赫定理的推廣，把復代數曲線的拓撲性質及代數性質聯繫起來。他用來證明定理而發展的工具，開創了代數K-理論和拓撲K-理論的研究，將研究對象與環關聯，從而研究這些對象的拓撲性質。他構建的新的上同調理論，用代數技術研究拓撲對象，在代數數論、代數拓撲以及表示論中有深遠的影響。他創造的拓撲斯理論，是點集拓撲學的範疇論推廣，影響了集合論和數理邏輯。

他對幾何的貢獻，借著在算術幾何中用代數方法研究數字，也促進了數論的發展。一個著名例子是韋伊猜想，這是算術幾何中的一組猜想，描述代數曲線上的點的個數的分析不變數，稱為zeta函式。他發現韋伊上同調的第一個例子ℓ進平展上同調，開啟了證明韋伊猜想的道路，終於由他的學生皮埃爾·德利涅完成。直至今日，ℓ進上同調仍然是數論學者的基本工具，在朗蘭茲綱領有套用。

格羅滕迪克對於不同數學結構中共有的泛性質的強調，將範疇論帶入主流，成為數學中的組織原則。範疇論提供了一套語言，描述許多不同的數學系統之間的相似結構和技術。他的阿貝爾範疇概念，現在是同調代數的基本研究對象。他構想中的motif理論，推動代數K-理論、motif同倫論、motif積分的現代發展。