線性代數中，柯西–比內公式（Cauchy–Binet formula）將行列式的可乘性（兩個方塊矩陣的行列式等於兩個行列式的乘積）推廣到非方塊矩陣，是求矩陣乘積行列式的一種方法。
基本介紹
描述,套用拓展,推廣,舉例,
描述
假設A是一個m×n矩陣，而B是一個n×m矩陣。如果S是{ 1, ...,n} 中具有m個元素的子集，我們記AS為A中列指標位於S中的m×m子矩陣。類似地，記BS為B中行指標位於S中的m×m子矩陣。柯西–比內公式說：
套用拓展
描述中求遍 { 1, ...,n} 中m個元素的所有可能子集S（共有C(n,m)個）。
如果m=n，即A與B是同樣大小的方塊矩陣，則只有一個容許集合S，柯西–比內公式退化為通常行列式的可乘性。如過m= 1 則有n容許集合S，這個公式退化為點積。如果m>n，沒有容許集合S，行列式 det(AB) 是零。
這個公式對矩陣元素取值於任何交換環都成立。
證明可將AB的列寫成係數來自B的A的列的線性組合，利用行列式的可乘性，將屬於一個 det(AS) 的項收集起來，並利用行列式的反對稱性。利用行列式的萊布尼茲公式，得出 det(AS) 的係數是 det(BS)。這個證明沒有利用行列式的可乘性，相反這個證明建立了它。
如果A是一個實m×n矩陣，則 det(AA) 等於由A中行向量在R中張成的平行多面體m-維體積的平方。柯西–比內公式說這等於該平行多面體在所有m-維坐標平面（共有 C(n,m) 個）的正交投影的平行多面體的m-維體積的平方之總和。m=1 的情形是關於一條線段的長度，這恰是畢達哥拉斯定理。
推廣
柯西–比內公式可直接推廣到兩個矩陣乘積的子式的一個一般公式。n×n的方塊矩陣有n個順序主子式。 對於埃爾米特矩陣，順序主子式的符號被用來判定矩陣的正定性。 常見的矩陣乘法和柯西-比內公式都是一下計運算元式乘積公式的特例： 設A是一個m×n矩陣，B是一個n×p矩陣，I是集合{1,...,m}的一個k ... 子集，J是集合{1,...,p}的一個k元子集，那么 其中子集K 取遍{1,...,n} 的所有k元子集。
舉例
如果
，
則柯西-比內公式給出行列式：
