李雅普諾夫指數

表示相空間相鄰軌跡的平均指數發散率的數值特徵。又稱李雅普諾夫特徵指數，是用於識別混沌運動若干數值的特徵之一。

基本介紹

• 中文名：李雅普諾夫指數
• 外文名：Lyapunov exponent
• 性質：科學
• 類別：數學、力學

定義

考慮兩個系統

此圖取自洛倫茲1961年的列印結果

設其初始值微小誤差為

經過一次疊代後有

其中

第二次疊代得到

········

經過第n次疊代得

可見，兩個系統對初始擾動的敏感度由導數|df/dx|在x0處的值決定，它與初始值x0有關。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件平均，要進行n次疊代：

每次疊代平均分離值為

兩個系統如果初始存在微小的差異，隨著時間（或疊代次數）產生分離，分離程度常用李雅普諾夫（Lyapunov）指數來度量，它為幾何平均值的對數

式中xn為第n次疊代值。令n趨於無窮，得到李雅普諾夫指數的計算公式：

套用

利用李雅普諾夫指數λ，相空間內初始時刻的兩點距離將隨時間（疊代次數）作指數分離：

在一維映射中只有一個λ值，而在多位相空間情況下一般就有多個λ，而且沿著相空間的不同方向，λ值一般也不同。

設ε0為多維相空間中兩點的初始距離，經過n次疊代以後兩點間的距離為：

式中指數λi可正可負，當其為正時表示沿該方向擴展，為負數時表示沿該方向收縮。在經過一段時間（數次疊代）以後，兩個不同李雅普諾夫指數將使相空間中原來的圓演變為橢圓。

穩定體系的相軌線相應於趨向某個平衡點，如果出現越來越遠離平衡點，則系統是不穩定的。系統只要有一個正值就會出現混沌運動。

判斷一個非線性系統是否存在混沌運動時，需要檢查它的李雅普諾夫指數λ是否為正值。

在高維相空間中大於零的李雅普諾夫指數可能不止一個，這樣體系的運動將更為複雜。人們稱高維相空間中有多個正值指數的混沌為超混沌。推廣到高維空間後，有指數（λ1，λ2，λ3，···）的值決定的各種類型的吸引子可以歸納為：

（λ1，λ2，λ3，···）	吸引子的類型	維數
（-，-，-，···）	不動點	D=0
（0，-，-，···）	極限環	D=1
（0，0，-，-，···）	二維環面	D=2
（0，0，0，-，···）	三維環面	D=3
（+，0，-，-，···）	奇怪吸引子（混沌）	D=2~3（非整數）
（+，+，0，-，···）	超混沌	D=高於3的非整數