李括弧

李括弧亦稱換位子，黎曼幾何中的一種運算。李括弧即從兩個 C^r 向量場得出一個新 C^r-1 向量場的一種運算。

基本介紹

• 中文名：李括弧
• 外文名：Lie bracket
• 適用範圍：數理科學
• 別稱：換位子

簡介

李括弧亦稱換位子，黎曼幾何中的一種運算。

李括弧即從兩個 C^r 向量場得出一個新 C^r-1 向量場的一種運算。

它可看成 𝒳^r(M)×𝒳^r(M) 到𝒳^r-1(M) 的映射： 。使用局部坐標表示：

若

則

從而， 是 向量場。 稱為向量場 X 和 Y 的李括弧，也稱為泊松括弧。

性質

李括弧具有以下性質：

1、滿足反交換律；

2、R 雙線性；

3、滿足雅可比恆等式：( X,Y,Z∈𝒳^r(M),2≤r)

因此，以 [ , ] 作為乘法，𝒳^∞(M) 成為一個李代數。李括弧由此得名。

李括弧和抽象指標

李括弧是一個這樣的映射，它作用於李代數中的兩個矢量，結果還是李代數中的一個矢量，用張量的觀點，李括弧就是這個李代數上的一個 (1,2) 型張量，所以用抽象指標寫出來就是。

如果給李代數選好基底，那么這個張量C就有分量，這些分量就是常數的結構常數

希臘字母是編號指標，可以取12345...。英文字母是抽象指標。