本原元

令K是域F的一個擴域．一個元素a如果它生成擴域K/F，即K=F(a)，則稱該元索為該擴域的本原元。本原元很有用，因為如果a在F上的既約多項式已知，那么在F(a)上的運算會很容易進行。

基本介紹

• 中文名：本原元
• 外文名：primitive element
• 所屬學科：數學
• 意義：有限域乘法特性的主要表現

定義

本原元是有限域乘法特性的主要表現。

與循環群類似，記域元素 的冪為

定義1 非零域元素 的階 是其冪為單位元的最小冪指數，即

定義2 稱具有最大階的域元素為本原元，即對本原元 ，有

主要性質

注意到域元素的階實際上就是域的乘法群的群元素的階，所以容易得到以下域元素的性質：

(1)GF(q)中的任意非零元素均可表示為本原元 的冪。因為由乘法的封閉性及本原元的定義，必有 ，所以

(2)(本原元的計數定理)GF(q)中有個本原元，這裡為歐拉函式，其值為小於n且與n互素的非零正整數的個數，即

因為由域的定義，有限域的非零元素集合對域乘法形成一個有限交換群，而有限交換群一定是循環群，所以中存在生成元，使得，從而循環群中生成元的個數就是中本原元的個數。

本原元定理

定理內容

特徵為零的域F的任何有限擴域K包含本原元。

註：這個命題當F是有限域的時候也是成立的，只是證明不同。對於特徵 的無限域，定理需要更多的假設條件，因為我們不研究這樣的域，因此不考慮這種情況。

本原元定理的證明

由於擴域K/F是有限擴域，故K由有限集合生成，例如K作為F-向量空間的一組基就在F上生成K，設 ，我們對於k套用歸納法，當 ，無需證明，假設k>l，歸納假設定理對於域 成立，該域 由前k一1個元素 生成，故我們可以假設 由單個元素 生成，所以K由兩個元素 和 生成，定理的證明於是簡化為K由兩個元素生成的情形，下面的引理解決這種情形。

引理 令F是特徵為零的域，令K是由兩個元素 和 在F上生成的擴域，除去F中有限多個c之外， 是K在F上的本原元。

求本原元的高斯算法

在比較大的域中，需要一個系統的方法來尋找本原元，下面給出一個尋找任意有限域中本原元的高斯算法。

在此算法中我們需要依次處理域元素序列 ，其中 ， ，實際上，對於 ，有

高斯算法：

第一步：設i=1，取域F中的任意一個非零元 ，且記 ；

第二步：若 ，則算法停止， 即為所尋找的本原元，否則轉第三步；

第三步：在域F中選一個非 的冪次的非零元 ，設 ，若s=q一1，則令 ，算法停止；否則轉第四步。

第四步：尋找 的一個因子d，s的一個因子e，使得 且 ，設

， 值加1，返回第二步。