基本介紹
- 中文名：BCH碼
- 類別：糾錯碼
- 分為：線性分組碼與非線性分組碼
- 其他碼制：里德-索洛蒙碼
線性與否,編碼解碼,漢明碼,循環碼,BCH碼,BCH碼基本原理,BCH碼編碼原理,戈帕碼,其他碼制,
線性與否
分組碼就其構成方式可分為線性分組碼與非線性分組碼。
線性分組碼是指[n,M]分組碼中的M個碼字之間具有一定的線性約束關係,即這些碼字總體構成了n維線性空間的一個κ維子空間。稱此κ維子空間為(n，κ)線性分組碼，n為碼長，κ為信息位。此處M=2。
非線性分組碼[n，M]是指M個碼字之間不存線上性約束關係的分組碼。d為M個碼字之間的最小距離。非線性分組碼常記為[n，M，d]。非線性分組碼的優點是：對於給定的最小距離d,可以獲得最大可能的碼字數目。非線性分組碼的編碼和解碼因碼類不同而異。雖然預料非線性分組碼會比線性分組碼具有更好的特性，但在理論上和實用上尚缺乏深入研究（見非線性碼）。
編碼解碼
用Vn表示GF(2)域的n維線性空間，Vκ是Vn的κ維子空間，表示一個(n，κ)線性分組碼。Ei=（vi1，vi2…,vin）是代表Vκ的一組基底(i=1，2，…，κ)。以這組基底構成的矩陣
稱為該(n,κ)線性碼的生成矩陣。對於給定的訊息組m=(m1，m2，…，mκ)，按生成矩陣G，m被編為mG=m1E1+m2E2+…+mκEκ
這就是線性分組碼的編碼規則。若
之秩為n-κ並且滿足GH=0，僅當=(v1,v2,…，vn)∈n滿足H=0時，才為κ中的碼字。稱H為(n，κ)線性分組碼κ的均等校驗矩陣,稱H為矢量的伴隨式。假設v是傳送的碼矢量，在接收端獲得一個失真的矢量r=v+E,式中E=(e1，e2，…，en)稱為錯誤型。由此rH=(v+e)H=eH
線性碼的解碼原則便以此為基礎。
漢明碼
這是最早提出的一類線性分組碼，已廣泛套用於計算機和通信設備。它是由R.W.漢明於1950年提出的。若碼的均等校驗矩陣H由2-1個、按任一次序排列且彼此相異的二進制r維列矢量構成。這樣得到的線性分組碼稱為漢明碼，其分組長為n=2-1，信息位為κ=n-r=2-1-r，即為(2-1，2-1-r)碼。例如，以矩陣
為均等校驗矩陣的線性分組碼便為(7，4)漢明碼。漢明碼的解碼十分簡單。例如, 假定=(1001100)為傳送的碼字,其第3位有錯，即接收矢量為r=(1011100)。於是
循環碼
具有某種循環特性的線性分組碼，如果(n，κ)線性分組碼Vκ具有如下的性質:對於每一個=(ɑ0,ɑ1，…，)∈Vn，只要∈Vκ,其循環移位()亦屬於Vκ,則稱Vκ為循環碼。循環碼的優點在於其編碼和解碼手續比一般線性碼簡單，因而易於在設備上實現。使Vn中的每一個矢量=(ɑ0，ɑ1，…，),對應於域GF(2)上的多項式ɑ(x)=ɑ0+ɑ1x+…+x。於是Vn中的全體n維矢量便與上述多項式之間建立了一一對應的關係。基於這種對應,使Vn中除了線性運算而外，還建立了矢量之間的乘法運算。A=(ɑ0,ɑ1,…,)與B=(b0,b1,…,)的乘積ab可視為ɑ(x)b(x)[mod(x-1)]所對應的矢量。因此,一個(n,κ)循環碼的生成矩陣及均等校驗矩陣可分別由生成多項式及均等校驗多項式h(x)所代替，從而簡化了編碼及解碼運算。
BCH碼
其中mj(x)代表的最小多項式。由這個g(x)所生成的，分組長為n的循環碼稱為BCH碼。它由R.C.Bose，D.K.Ray-Chaudhuri及A.Hocquenghem三人研究而得名。BCH碼的主要數量指標是：碼長n，首元指數m0，設計距離d0，信息位數（表示多項式g(x)的次數）。BCH碼的重要特性在於：設計距離為d0的BCH碼，其最小距離至少為d0，從而可至少糾正(d0-1)/2個獨立錯誤。BCH碼解碼的第一步是計算伴隨式。假設 為傳送碼矢量,為接收矢量,而E=(E0,E1,…,En-1)為錯誤矢量,或記為錯誤多項式。於是伴隨矢量之諸S=(S1，S2，…,S2t)分量Sκ由
決定（κ=1,2,…2t；為簡便計,設m0=1,d0=2t+1）。假設有e個錯誤出現(1≤e≤t),則對應於e個錯誤的Ei厵0。如果E的第j個（從左至右）非零分量是Ei,則稱Xj=β為這個錯誤Ei的錯位，而稱Yj=Ei為這個錯誤的錯值。稱 為錯位多項式。BCH碼解碼的關鍵是由諸sκ(κ=1,2，…，2t)求出(z)。這可用著名的伯利坎普－梅西疊代算法來完成。這種算法相當於線性移位暫存器（LFDR暫存器）的綜合問題。最後一步是求出(z)的全部根，可用錢天聞搜尋算法完成,從而可以定出接收矢量r的全部錯位。
BCH碼基本原理
BCH碼是一種有限域中的線性分組碼，具有糾正多個隨機錯誤的能力，通常用於通信和存儲領域中的糾錯編碼。BCH碼定義如下：給定任意一個有限域GF(q)及其擴展域GF(q^m)，其中q是素數或素數的冪，m為正整數。對於任意一個碼元取自擴展域GF(q^m)的循環碼(n,k)，其中n=2^m-1，其生成多項式g(x)具有2t個連續的根{a^1,a^2,a^,...,a^(2t-1),a^(2t)}，則由生成多項式g(x)編碼產生的循環碼稱為q進制的BCH碼，記為(n,k,t)。當碼長n=2^m-1，稱為本原BCH碼，否則稱為非本原BCH碼。
最常用的BCH碼是二進制的BCH碼。二進制BCH碼的所有碼元都是由0和1構成，便於硬體電路的實現。如無說明，本文以下討論的BCH碼都是二進制BCH碼。二進制本原BCH碼具有以下重要參數：
- 碼長：n=2^m-1
- 校驗位長度：n-k<=m*t
BCH碼的生成多項式是由GF(q^m)的2t個最小多項式最低公倍式的乘積，糾錯能力為t的BCH碼生成多項式為g(x)=LCM{m1(x),m2(x),...,m2t-1(x),m2t(x)}，其中LCM表示最低公倍式，m(x)為最小多項式。
由多項式理論知道，如果有限域GF(2^m)中的元素a^i是m次即約多項式mi(x)的根，則(a^i)^2,(a^i)^4,(a^i)^8,...也是mi(x)的根，(a^i)^2,(a^i)^4,(a^i)^8,...稱為共軛根系。如果兩個根共軛，則它們具有相同的最小多項式。因此生成多項式g(x)=LCM{m1(x),m2(x),...,m2t-1(x),m2t(x)}=m1(x)*m3(x)*...*m2t-1(x)通過以上步驟就可以求出BCH碼的生成多項式。得到生成多項式就可以對信息進行編碼。
BCH碼編碼原理
將未編碼的k位數據記為多項式：
m(x)=m0+m1*x^1+m2*x^2+...+mk-1*x^k-1;其中mi屬於{0,1}
將生成多項式記為：
g(x)=g0+g1*x1+g2*x^2+...+gr*x^r,其中r=m*t，校驗位記為r(x)，則
r(x)=x^r*m(x) mod g(x)
編碼後的BCH碼字多項式可記為：
C(x)=x^r*m(x)+x^r*m(x) mod g(x)
BCH編碼實現的關鍵是通過除法電路得到校驗位多項式。編碼的過程可總結為：
- 將m(x)左移r位，得到x^r*m(x)；
- 用生成多項式g(x)除以x^r*m(x)，得到校驗位多項式r(x)；
- 得到碼元多項式C(x)=x^r*m(x)+x^r*m(x) mod g(x)。
戈帕碼
這是一種重要的線性分組碼，它不僅包括常見的諸如本原BCH碼等大量的循環碼類,還包括相當多的非循環線性分組碼類，並且後一種碼具有良好的漸近特性。戈帕碼的理論實質在於將每一個碼矢量與一個有理分式相對應。q是某一個素數冪，g(z)是域GF(q)上的任意多項式，L表示域GF(q)中所有不為g(z)之根的元素所成之集合，|L|代表L中元素的數目。於是存在一個以GF(q)為符號域，以GF(q)為位置域的線性分組碼。碼長為|L|，它的各碼元用L中的元素來標誌。這種碼可定義為滿足條件
的一切GF(q)上的全體|L|維矢量的集合，式中 這種碼稱為戈帕碼，稱g(z)為戈帕多項式。
例如，q=2,m=2，g(z)=z+α,α是域GF(z)上的本原元素 α+α+1=0 α3=1
則<PL={β1,β2,β3}={0,1,α}
於是<P
