本原元定理

在數學中，本原元定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/F，E可以表示為F(α)的形式，即E可以由單個元素生成。

基本介紹

• 中文名：本原元定理
• 外文名：primitive element
• 學科：數學

定理

在數學中，本原元定理深刻刻畫了什麼時候對於一個域擴張 ，E可以表示為 的形式，即E可以由單個元素生成。一個有限擴張 有本原元，即存在α使得 ，若且唯若E和F之間只有有限箇中間域。

證明

如果F是有限域，由於E/F是有限擴張，推得E也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群，任取這個乘法群的一個生成元，E可以由這個生成元生成。所以在F是有限域的情況下，定理左右兩邊恆為真。

如果F是無限域，但是只有有限箇中間域。 先證明一個引理：假設E=F(α，β)並且E和F之間只有有限箇中間域，那么存在一個γ∈E使得E=F(γ)。引理的證明如下：當c取遍F的時候，對於每一個c可以做一個中間域F(α+cβ)。但是由假設，只有有限箇中間域，因此必定存在 ∈F， 使得F(α+ β)=F(α+ β)。由於α+ β，α+ β都在這個域裡，推得( - )β也在這個域裡。由於 ，推得β在這個域裡，於是α也在這個域裡，因此E=F(α，β)是F(α+ β)的子集，F(α+ β)是F(α，β)的子集，於是E=F(α+ β)。引理證畢。

由於有限擴張總是有限生成的，推得 （對於 ）。利用歸納法以及引理可以得出，如果E/F之間只有有限箇中間域，那么E可以由單個元素生成。

而如果E=F(α)，假設f(x)=irr(α，F，x)是α在F上的極小多項式，K是任意一個中間域，g_K(x)=irr(α，K，x)是α在K上的極小多項式。顯然g_K(x)整除f(x)，由於域上的多項式環是唯一分解環，f(x)只有有限個因子。而對於每一個g_K(x)整除f(x)，如果g_K(x)寫作g_K(x)= ，並令K₀=F( )。顯然K₀是K的一個子域，因此g_K(x)在K₀上依然是不可約的。而同時E=F(α)=K(α)=K₀(α)，因此可以得到[E：K]=[E：K₀]= ，這樣立即推K₀=K，於是任何一個中間域K對應唯一的一個f(x)的因子g_K。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的，因此中間域個數有限。

證畢。

推論

由於有限可分擴張只有有限箇中間域，由本原元定理立刻推出這個擴張有單個生成元。

示例

模19下7的階為3（ , ,,....）
模n下a的階，a就是n的本原元，如3是19的本原元，本原元並不唯一（19本原元還有2，3，10，13，14，15），不是所有的整數都有本原元，應是這樣的形式：2,3,,(p為奇素數) 。