曲線坐標

曲線坐標系

設（y¹，y²，y³）為歐氏空間R³中Descartes坐標系，Ω為R³中的某一連通區域，Ω上給出三個連續可微、單值函式

xⁱ=fⁱ（y¹，y²，y³），i=1，2，3，

如果可逆，有

yⁱ=gⁱ（x¹，x²，x³），i=1，2，3。

此即，Ω上的變數（xⁱ）和Descartes坐標系（yⁱ）之間，由可逆、雙方單值、連續可微的變換聯繫著，則這樣的（xⁱ）稱為Ω上的曲線坐標系。

在曲線坐標系中，指標有上下之分，帶上標的量為逆變數，帶下標的量為協變數，既有上標又有下標的為混合變數。

坐標變數{x¹，x²，x³}為逆變數，一般記為{xⁱ}。

可用矩陣表示如下：

形如x=Ay，若︳A︳≠0，則存在逆變換y=A^-1x。同樣地，若

則xⁱ=xⁱ（y^j）存在逆變換：yⁱ=yⁱ（x^j），其中J稱為雅可比（Jacobi）行列式。實際上逆變換存在還需要一個條件：J≠0。當

時，xⁱ=xⁱ（y^j）是線性函式，（yⁱ）是斜角坐標系。