富勒氏曲線

直觀上，富勒氏曲線可看成空間質點運動的軌跡。曲線的更嚴格的定義是區間【α，b)】到E3中的映射r:【α,b)】→E3。有時也把這映射的像稱為曲線。具體地說，設Oxyz是歐氏空間E3中的笛卡兒直角坐標系，r為曲線C上點的向徑，於是有。上式稱為曲線C的參數方程，t稱為曲線C的參數，並且按照參數增加的方向自然地確定了曲線C的正向（圖1）。曲線論中常討論正則曲線，即其三個坐標函式x(t)，y(t)，z(t)的導數均連續且對任意t不同時為零的曲線。對於正則曲線，總可取其弧長s作為參數，它稱為自然參數或弧長參數。弧長參數s用來定義，它表示曲線C從r(α)到r(t)之間的長度，以下還假定曲線C的坐標函式都具有三階連續導數，即曲線是C3階的。

富勒氏曲線的弧長s、曲率k(s)和撓率τ(s)是運動的不變數。反過來，曲線的曲率和撓率也完全決定了曲線的形態。具體地說，如果給定了兩個連續函式k(s)>0和τ(s),s∈【α,b)】，則存在以k(s)和τ(s)分別為其曲率和撓率的曲線，並且這些曲線經過空間的一個運動可以互相疊合。

基本介紹

• 中文名：富勒氏曲線
• 直觀：空間質點運動的軌跡
• 定義：區間【α，b)】到E3中的映射r:【α,b)】→E3
• 運動的不變數：弧長s、曲率k(s)和撓率τ(s)

幾何性質

以曲線的全部或確定的一段作為研究對象時，就得到曲線的整體的幾何性質。設曲線C的參數方程為r=r(s)，s∈【α,b)】,s為弧長參數,若其始點和終點重合r(α)=r(b))，這時曲線是閉合的，稱為閉曲線。若它在這點的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交,則稱為簡單閉曲線。對於正則閉曲線C,把它的切向量t(s)的始點放在原點，t(s)的終點軌跡是單位球面上的一條閉曲線，它稱為曲線C的切線像或切線標形。C的切線像的長度為。

等式右方是閉曲線C的曲率k(s)沿C的積分，自然就稱為曲線C的全曲率，以表示。正則閉曲線的全曲率等於其切線像的長度。

定理

關於正則閉曲線的全曲率的界限有下述二定理。

芬切爾定理

正則閉曲線C的全曲率≥2，且等號僅當C為平面凸閉曲線時成立。這定理給出了正則閉曲線的全曲率的下限，白正國將此定理推廣到分段光滑的閉曲線。

法里-米爾諾定理

簡單正則有結空間閉曲線（圖5）的全曲率>4。

閉曲線C的撓率τ(s)沿自身的積分