自然參數

利用非零全純二次微分可做出S_g上的局部全純坐標系，即所謂自然參數。

基本介紹

• 中文名：自然參數
• 外文名：natural parameter
• 適用範圍：數理科學

簡介

全純二次微分式

全純二次微分是一種特殊的二次微分式，是在局部坐標z下表為且在局部坐標變換下不變的微分式。若f是點z的全純函式，則稱w為S_g上的全純二次微分式。

由黎曼-羅赫定理可知：S_g上所有全純二次微分的全體是6g-6維實的向量空間。

自然參數

利用非零全純二次微分可做出S_g上的局部全純坐標系，即所謂自然參數。

作法

自然參數的作法如下：

設p∈S_g，z為p附近的局部坐標，z(p)=0，w=f(z)dz。若f(z(p))=f(0)≠0，則在原點附近

是單射，此處取為一單值分支，從而在p的鄰域內是一局部全純坐標。

若p是w的n階零點，則存在以原點為中心的圓盤D(0;r)，使得在其內，其中ψ(z)全純且ψ(z)≠0。取定的一個單值分支；

如n為奇數，則沿切割D(0;r)，然後取z在D(0;r)\I中一個分支；

如n為偶數，則無須切割D(0;r)，總之，

是定義於D(0;r)\I的單值函式。可驗證是單值且在原點的導數不為0，從而可作為p點附近的局部坐標。

設0<k<1，ζ是S_g上某一非零全純二次微分w誘導的自然參數，令，易知ζ'滿足局部坐標的相容性條件，因而參可作為拓撲曲面S_g上的全純坐標。

由此產生一個黎曼曲面S'_g及泰希米勒空間的一個點[S'_g,T]，其中T:S_g→S'_g作為拓撲曲面S_g上的自同胚為恆等映射，T及[S'_g,T]稱為泰希米勒形變。