全純二次微分是一種特殊的二次微分式，是在局部坐標z下表為w=f(z)dz且在局部坐標變換下不變的微分式。若f是點z的全純函式，則稱w為Sg上的全純二次微分式。
基本介紹
- 中文名：全純二次微分
- 外文名：holomorphic quadratic differential
- 適用範圍：數理科學
簡介,套用,推論,
簡介
全純二次微分是一種特殊的二次微分式，是在局部坐標z下表為
且在局部坐標變換下不變的微分式。若f是點z的全純函式，則稱w為Sg上的全純二次微分式。
由黎曼-羅赫定理可知：Sg上所有全純二次微分的全體是6g-6維實的向量空間。
套用
利用非零全純二次微分可做出Sg上的局部全純坐標系，即所謂自然參數。其作法如下：
設p∈Sg，z為p附近的局部坐標，z(p)=0，w=f(z)dz。若f(z(p))=f(0)≠0，則在原點附近
是單射，此處取
為一單值分支，從而在p的鄰域內
是一局部全純坐標。
若p是w的n階零點，則存在以原點為中心的圓盤D(0;r)，使得在其內
，其中ψ(z)全純且ψ(z)≠0。取定
的一個單值分支；
如n為奇數，則沿
切割D(0;r)，然後取z在D(0;r)\I中一個分支；
如n為偶數，則無須切割D(0;r)，總之，
推論
設0<k<1，ζ是Sg上某一非零全純二次微分w誘導的自然參數，令
，易知ζ'滿足局部坐標的相容性條件，因而參可作為拓撲曲面Sg上的全純坐標。
由此產生一個黎曼曲面S'g及泰希米勒空間的一個點[S'g,T]，其中T:Sg→S'g作為拓撲曲面Sg上的自同胚為恆等映射，T及[S'g,T]稱為泰希米勒形變。
