時變參數（time-varying parameter）是指描述時變系統的一系列參數。
時變系統(time-varying system)其中一或一個以上的參數值隨時間而變化，從而整個特性也隨時間而變化的系統。
對線性連續系統而言，當系統中有一個或一個以上的參數值隨時間而變（即為時間的函式）時，其數學模型是一個變係數線性微分方程。而對線性離散系統而言，當系統中有一個或一個以上的參數值隨時刻而變（即為時刻的函式）時，其數學模型則是一個變係數線性差分方程。由於對變係數微分方程及差分方程的分析求解，比對常係數微分方程及差分方程的分析求解繁難得多，故分析時變系統的信號處理功能遠較分析時不變系統的相應功能複雜困難，有時甚至求不出確切解而只能求出近似解。當系統中有多個參數隨時間而變時，則可能無法用解析法求解。
基本介紹
- 中文名：時變參數
- 外文名：time-varying parameter
- 涉及學科：信息科學
- 描述對象：時變系統
- 特性：參數值隨時間而變化
- 缺點：相應功能複雜困難
背景,時變參數的識別,廣義動力學系統中時變參數識別方法,結構時變參數識別方法的研究進展,基於短時時不變假設的研究方法,使用線上或遞推技術的研究方法,人工智慧和人工神經網路方法,小波理論及其在結構系統識別領域的套用,線上性時不變結構系統的參數識別上的套用,小波理論套用於時變結構參數識別的思路,展望,
背景
結構參數(剛度、阻尼和質量等)不隨時間變化的結構稱為時不變結構，反之稱為時變結構。對於線性時不變結構動力學的正問題和反問題的研究目前己趨於成熟，但時變結構的研究，因為其難度較大，還是結構動力學學科的前沿問題，特別是反問題(時變參數識別問題)的研究，目前還很不成熟.但工程科學的發展，又給我們提出了許多急待解決的時變結構的動力學問題，
例如:
(1)飛彈、飛機機翼的顫振問題，其氣動剛度是隨時間變化的。當速度急劇變化時，氣動加熱也會引起材料的剛度和阻尼隨時間變化。
(2)結構的動力屈曲問題就是普遍存在的時變參數問題。
(3)太空飛行器中的太陽電池帆板和機械臂的展開為多體動力學問題，多體系統的動力學方程一般均表現為時變參數的方程。
(4)火箭發射時，燃料快速消耗，火箭系統的質量特性是時變的。
(5)高速列車會引起橋樑激烈的振動，因為火車、橋樑的結構系統是時變系統。
類似的時變結構問題還很多，而且會越來越多，而時變結構的建模就涉及時變參數的識別問題。該問題的研究目前國內正處於起步階段，國外雖有一些研究成果，但還不很成熟。
時變參數的識別
對於線性時變結構，通常用如下N階線性時變的半離散化的結構動力方程來描述：
其中M(t), C(t)和K(t)分別為系統時變的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，q(t), F(t)分別為系統廣義坐標和激勵力向量，d0，v0分別為初始位移和速度列向量.從純數學角度來看，這是一個變係數的禍合的二階常微分方程組，這樣的方程組的解的穩定性、收斂性和振盪性等的討論是較為複雜的數學理論問題，對單變數係數周期性變化的簡單問題，理論上已有了一些結論，但對係數任意變化的和多變數的問題理論上還有許多工作要做.對時變結構的參數識別在理論上還有可識別性、可觀測性和可控性等問題，對線性時不變結構系統已有了理論結果，而對線性時變結構還有待於進一步研究.現有的時變結構系統參數識別方法都迴避了這個問題，假定其參數是可識別的，即利用系統的輸入輸出數據可以識別出系統的隨時間變化的參數。
廣義動力學系統中時變參數識別方法
現代控制理論中所研究的系統一般是更廣泛意義上的系統，這裡稱之為廣義動力學系統。針對廣義系統建立和發展了很多的參數識別的理論和方法，這些理論對發展結構系統參數識別方法能提供有價值的參考.因此有必要首先看一看時變參數識別方法在這些領域的研究進展。
一般認為，單變數線性系統辨識的理論和方法，目前已較為成熟，而多變數系統雖然近十幾年來開展了大量的研究工作，但由於在噪音背景下問題的高度複雜性，還遠沒有達到單變數線性系統辨識那樣成熟的程度.因此更多的研究工作放在了探求各種線上辨識算法的自適應性質，遞推算法的收斂性和一致性.提出的許炙用於時變參數的系統辨識算法，主要有最小二乘、卡爾曼濾波和最小均方方法遞推算法及其改進算法，但其中大部分都只能用於隨時間緩慢變化的參數辨識，對快時變系統參數辨識的研究進展較慢，相應的辨識算法研究也不多岡.遞推最小二乘法可以跟蹤時變參數，帶常遺忘因子的一般只能用於估計慢時變參數，而帶可變遺忘因子的最小二乘方法可以用於估計快時變參數，但在有噪音的情況下參數估計方差增大，參數估計適應越快它們跟蹤噪音的趨勢越大，從而造成辨識精度的損失.為改善辨識精度，對快時變參數都採用在每一個採樣間隔內以折線段來逼近，一般表達式為
其中。α(Ti)在每一個折線段內是已知的，α1為折線段斜率，這樣就把辨識時變參數問題轉化為辨識常參數問題，只需估計α1。根據上述思想，對協方差矩陣採用協方差重置法由普通最小二乘遞推公式得到了一種辨識算法，即令P(Ti)=K0， i = 0, 1, 2,..，式中K0為由設計者選擇的參數，分段間隔大小的選擇由參數變化的快慢而定，並要求若被估參數數目為2N則在每個分段內的採樣點數應大於2N。對機組氣溫系統模型採用ARMAX模型描述並提出了線性加權辨識算法，其中t*為一有限值，Mo為加權係數，向量F是θˇ(t)的平均變化率，而對θˉ(t)的估計採用上述分段折線逼近的思想，該方法只要適當選擇權係數，可獲得較強的參數跟蹤能力和較快的穩態收斂速度。利用普通最小二乘方法辨識方程的線性組合，即假設參數行為的某種平均
是差分矩陣運算元，V為常向量，
為前向時移運算元。]在此基礎上重構以待估參數為狀態變數的狀態方程和觀測方程，然後利用卡爾曼濾波公式給出一個辨識算法，並指出當V=0時算法最優，所用計算時間少。針對含有方程噪音的時變模型，提出一種多項式擴展遞推最小二乘法(PRLS)及其改進方法，基本思想是對待估參數以多項式逼近，在固定長度的時間區間上，問題就變成非時變參數的辨識問題。
以上所有這些改善辨識精度的方法，基本思想都是對待估的時變參數以多項式或傅立葉級數逼近，在固定長度的時間區間上，問題就變成非時變參數的辨識問題，然後再採用最小二乘法或卡爾曼濾波來解決。這些方法移植到工程結構系統的時變參數識別上還有許多理論問題需要解決，但其研究思想可以提供有益的參考。
結構時變參數識別方法的研究進展
總體來說，時變結構系統參數識別研究目前在國內外還都處於剛起步的階段，已有的研究工作主要有兩種:一種是將數據劃分成一個個小的時間段，並在每一個時間段內把結構參數看成是時不變的，然後將每一個段內的識別值用曲線擬合以得到參數時變的規律。這種方法的特點是估計後一段的參數時沒有用到前面各段的數據信息，對參數變化較快的系統，為使估計精度提高必須選取較小的段;另一種就是所謂的線上或遞推技術，在每一個時刻數據是序貫地被考慮，老的數據逐漸被遺忘，新的數據不斷地加進來，並且參數的估計值在每一個時刻是適時被修正的。這種方法存在著觀測數據及遺忘因子的適當選取問題，需要在識別精度和跟蹤能力這二者之間做折中考慮。
基於短時時不變假設的研究方法
基於短時時不變假設給出了一種用於多自由度的時變結構系統參數辨識的算法，並給出輸入數據和對應測量回響在沒有噪聲和帶有高斯白噪聲的辨識結果。該算法在狀態空間中的表示是用Newmark積分方法得到的，而後再用最小二乘及其改進算法來辨識。一個剛度時變的三自由度的仿真例子，並指出算法存在著一個辨識區間長度的適當選取問題，為得到有用的估計結果要求其必須足夠短，為減少計算量又要求它足夠長，因此對N自由度系統，為得到好的辨識精度算法的計算量是很龐大的，在每一個時間步上需要60倍的NxN矩陣的乘法和加法。也是在短時時不變假設下，基於時不變結構系統的模態分析理論，利用線性加速度方法將運動方程離散成狀態變數包含模態位移、速度、加速度以及模態參數的非線性狀態方程，然後用擴展卡爾曼濾波公式來估計模態參數.在量測數據的起點和終點進行封閉循環濾波以克服短數據效應，而且各階模態參數是逐階進行的，將首先獲得的第一階模態參數作為下一步中將該系統視為兩自由度時的第一階模態參數的初值，重複濾波過程，如此下去直到滿意為止。該算法較為複雜，計算量較大，而且隨著模態階數的增加，初始條件的影響越來越大，較高階的模態參數估計精度越來越差。
使用線上或遞推技術的研究方法
在信號處理和現代控制理論中發展了許多這樣的方法，但這些方法能套用到時變結構系統上的只有一小部分。以ARMA差分方程模型研究使用七種時域系統辨識算法跟蹤時變模態參數的能力，其中包括LS(least squares), DLS (doubleleast squares), CF (correlation fit), IV (instrumental variables), IMDO (instrumental matrix withdelayed observations), ELS (extended least squares), ML (maximum likelihood)等，它們對單自由度系統都有效，其中只有ML和DLS方法對兩自由度系統有效。將其中的LS, DLS,IV方法用於時變物理參數的識別。將此三種方法利用可變物理參數的微分方程模型討論了剛度與阻尼隨時間變化時物理參數與模態參數的識別問題，同時闡述在考慮了噪聲的情況下上述三種算法的性能，指出最小二乘算法的改進型比常規最小二乘算法對噪聲更敏感.在實際套用中，由於量測噪聲的存在，LS , DLS , IV的識別精度依次下降，特別是噪聲較大時IV算法失效.因此當估計到噪聲量級較大並採用變物理參數微分方程模型時應選用最基本的行之有效的LS算法。討論帶遺忘因子的辨識算法問題，對帶時變物理參數模型揭示了上述方法的統一性，並給出各種算法的統一的遞推結構，數值仿真對系統參數的慢變、突變和快變三種情況都給出了結果，但未考慮噪聲對識別結果的影響。
上述方法都是直接從結構系統量測的輸入輸出數據出發來分析的，這是較多數的方法，還有一類是從利用系統的脈衝回響函式發展的時域方法出發發展它們的遞推或線上型方法。首先給出了將經典的遞推最小二乘方法用於直接利用結構系統的脈衝回響函式的AR模型，根據這一思想原先的基於最小二乘方法的一些時域方法都可以生成相應的線上型算法，也就產生了線上型的最小二乘復指數法，由於這些方法都是把AR模型的差分方程的殘差平方和的最小化做為基本思想。因此不得不採用較高的模型階，也就是比實際大得多的模型階以獲得無偏的模態參數估計，這樣的處理方法導致使用者必須能區分系統模態和虛假模態。另外AR模型最佳階次的選取準則沒有統一的準則，對此缺點可以改善的方法是特徵系統實現算法(ERA)，它移植了控制理論的最小實現理論，利用脈衝回響函式數據採用奇異值分解(SVD)的方法求得系統的特徵值與特徵向量，從而求得模態參數.理論上在估計的處理過程中由於算法的抗噪聲干擾能力可以消除所有的虛假模態，並且由於它以最小的階數和最少的參數來描述系統的特徵，故減少了計算量和計算機記憶體占用量.另一種使用數據相關的特徵系統實現算法(ERA/DC)，它又減少了計算時間.對於這兩種目前被認為比較先進的模態參數識別方法沒有理由不去試圖發展相應的線上算法.基於適時修正QR分解的正交化步驟，分別發展線上型的ERA,很遺憾的是他們喪失了最小階實現，因而常常可能因為虛假模態導致算法的穩定性問題。
可以看到上述的方法絕大多數都要用到最小二乘的思想，而對最小二乘思想進行改進的全最小二乘(TLS)思想近幾年來逐漸被用於系統識別和參數估計上，最小二乘方法只考慮了觀測向量的誤差，而全最小二乘方法同時又考慮了數據的誤差，基於全最小二乘方法的系統時變參數識別方法，只討論了單自由度系統.但筆者認為對多自由度問題也不存在理論上的困難，只是還需做更多的工作。
人工智慧和人工神經網路方法
採用漸進搜尋的人工智慧方法進行研究，可以同時識別出結構動力模型和參數，仿真結果顯示方法優於傳統的參數識別技術，但用於實際工程結構還有許多理論問題需要解決.人工神經網路方法近幾年在系統識別領域有大量的研究成果湧現，用於結構系統的對非時變的線性、非線性問題也都有一些研究論文問世，但對模態參數線上識別的套用筆者僅見文!39}一篇，它對一個單輸入單輸出的懸臂樑仿真驗證了算法跟蹤模態參數變化的能力，同時給出了一個圓板結構的一、二階模態的線上識別的實驗驗證，與前述的線上型ERA或ERA/DC相比計算量相對小一些，因此它可以用到飛行器在飛行期間的主動噪聲控制.該算法對單頻模態問題十分有效，但對實際結構的多頻模態問題，算法強烈依賴於神經網路設計所用的帶通濾波器(BPF)的濾波能力(該文使用了四階Butterworth濾波器)，它要求帶通濾波器(BPF)能夠將結構的各階固有頻率完全分開，這一點使得算法在實際套用中受到很大的限制.
以上是筆者在公開報導的資料上所僅見的一些方法，還沒有對一般問題普遍適用的有效方法，都存在著算法複雜，需要改善計算量大及識別精度差等問題。
小波理論及其在結構系統識別領域的套用
有關小波理論在國內外的研究進展有許多文獻報導。在1997年末分別用主題詞wavelet加identification和wavelet加estimation在科學引文檢索(SCI)檢索到文獻50多篇，其中用於系統識別和參數估計的有十幾篇，包括用於結構系統識別的三篇，同時又利用其它的檢索手段發現，小波理論在這些領域的套用還不多，尤其是在結構系統識別領域。小波理論在系統識別領域的套用主要是利用小波基可以構成各種常用空間的無條件基，可以對函式形成良好的逼近，以及小波函式被稱為“數學顯微鏡”良好的時頻局部化能力。
線上性時不變結構系統的參數識別上的套用
考慮了在阻尼較大、模態較為密集或某些振型沒被激起來情況的模態參數識別的如下加權積分變換方法的改進可以看作一個信號的小波變換，它能使權積分變換作用放大，從而在頻響函式圖上可以更清楚地識別模態參數。利用系統脈衝回響函式的小波變換可以進行模態濾波，進而可以識別多自由度系統的模態參數。用包絡提取給出了模態阻尼的識別，用一個兩自由度的例子可說明方法的有效性。
小波理論套用於時變結構參數識別的思路
(1)對於時變特性不很明顯，即結構參數隨時間的變化較為緩慢的系統，使用通常的基於參數時不變假設的模態參數識別方法，如被認為目前比較優秀的最小二乘復指數法和特徵系統最小實現算法也可達到一定的精度，但對數據的要求較高，算法相對複雜，而且對模態阻尼的識別精度較低，而對於飛彈、飛機的顫振問題，模態阻尼的精度又是很重要的，因此對於這類問題使用方法是合適的，儘管它們還不是真正的時變的模態參數識別方法·
(2)基於短時時不變性假設，認為在較短的時間區間內系統的固有參數是常數，在這個時段內對輸入輸出數據使用小波變換方法來確定系統的脈衝回響函式，再使用FFT也可得到頻響函式，在數據較少時小波變換方法獲得系統的脈衝回響函式精度相對FFT方法要高。由此再使用時域或頻域的結構系統識別方法來識別結構的模態參數，或者直接從脈衝回響函式的小波變換識別模態阻尼。這樣一個時段接一個時段下去即可得到時變的結構模態參數。
(3)仿照在本文第3節敘述的在現代控制理論中的快速時變參數估計的一些新方法，對結構系統的輸入、輸出數據用帶時變係數的AR或ARMA模型來描述，類似地用小波基展開序列來逼近時變的係數，與低通濾波器和高通濾波器及其共扼濾波器相對應的時域脈衝回響函式。從而使問題轉化為非時變參數估計問題，這樣最小二乘法及其相關的各種方法就都可以套用了。J的選取可根據時變係數變化的快慢及是否會出現突變等先驗信息來確定，若信號有突變或變化較快，相應要選小一些，反之應大一些.最後還應該建立模型的時變係數與結構系統的時變參數之間的關係。
展望
研究結構系統具有時變參數的參數識別方法有廣泛的套用前景和重要的理論意義。進一步的工作是:
