映射芽

映射芽(germ of mapping)是奇點理論與突變理論的主要研究對象之一。確定在一點的鄰域上的連續映射的等價類，精確地說，設X，Y是拓撲空間，p∈X，考慮由在點p附近定義的全體連續映射g所構成的集合A，A={g|g：U→Y，U是點p的開鄰域，g是連續映射}，在這個集合里引進等價關係如下：設g：U→Y，f：V→Y是A中的兩個映射，若存在點p的開鄰域W，使得W⊂U∩V，而且f和g在W上的限制相等，即f|W=g|W，則稱f和g等價，在這個等價關係下的一個等價類就稱為映射在點p的芽，常記為h：(X，p)→Y，這個類中的任何映射g都稱為芽h的代表，而h也稱為映射g在點p的芽，關於映射的許多概念，如兩個映射的複合映射等都可以自然的方式搬到映射芽上來，特別地，函式的相乘、相加等概念能夠以自然的方式搬到函式芽上，在奇點理論與突變理論中研究的是可微映射芽。

基本介紹

• 中文名：映射芽
• 外文名：germ of mapping
• 所屬學科：數學
• 簡介：奇點理論與突變理論的研究對象

映射芽的接觸等價

映射芽的接觸等價是奇點理論的一個概念，它是反映兩個映射的零點集局部拓撲等價的概念.設是兩個可微映射芽，若存在C微分同胚芽和可微映射芽，這裡GL(R)是一般線性群，，I為R上的恆等變換，使得，則稱f和g是C接觸等價的。若φ與L均為Cr可微映射芽，則稱f與g是C接觸等價的，當φ與L僅為連續時，就稱f與g是C接觸等價的，或稱為拓撲接觸等價的，若f與g是接觸等價，則局部微分同胚芽φ把在點O的芽映成在點O的芽，於是，f與g是接觸等價的若且唯若存在一微分同胚芽使得：

1.

2.

用K記由所有滿足下麵條件的微分同胚芽相對於結合映射運算做成的群，這裡關於H存在可微映射芽，使得如圖1（a）-圖1（c）交換

圖1（a）

圖1（b）

圖1（c）

這裡l為嵌入映射，π為投影映射.群K在上的作用由下式刻畫：，1記恆同映射芽：，從而，f與g是接觸等價的若且唯若f與g屬於群K作用下的同一個軌道。

映射芽的決定性

映射芽的決定性(determinacy of map-germs)是反映映射在一點的局部性質，它可以由其在該點的某些導數所決定.。設N，P為光滑流形，，C_N表示由無窮次可微函式芽的全體構成的集合，表示y₀的局部坐標，，設M為

的R線性子空間，給定一個無窮次可微映射芽，若存在可微映射芽使得

則稱g是f的M逼近，若對於f的每個M逼近g，f和g關於右-左等價關係都是等價的，則稱f是M決定的，注意，在一般情況下，f的M決定性與點y₀的局部坐標的選取有關，但是，當M是C_N的某個理想I的p次直積時，就與坐標系的選取無關。

映射芽的右-左等價

映射芽的右-左等價是兩個映射之間的一種關係，指兩個映射經過其定義域及值域的坐標變換後可以把一個變為另一個.，設是兩個可微映射芽，若存在微分同胚芽和k：(R，0)→(R，0)，使得圖2交換，即k°f=g°h，則稱映射芽f與g是C右-左等價的，若h，k都是C微分同胚芽，則稱f與g是C右-左等價的，若h，k僅是同胚芽，則稱f與g是拓撲右-左等價的，記A=R×L(群R，L的定義參見“映射芽的右等價”和“映射芽的左等價”).群A自然地作用在上，這裡記可微映射芽之全體，即

f與g右-左等價若且唯若存在(h，k)∈A使

亦即f與g屬於群A作用下的同一個軌道。

圖2