施瓦爾茲不等式

數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和機率論的方差和協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣，如赫爾德不等式。

基本介紹

• 中文名：施瓦爾茲不等式
• 外文名：Schwarz inequality
• 領域：數學
• 別稱：柯西-施瓦茨不等式

簡介

數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和機率論的方差和協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣，如赫爾德不等式。

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

敘述

柯西-施瓦茨不等式敘述，對於一個內積空間所有向量x和y，

其中 表示內積，也叫點積。等價地，將兩邊開方，引用向量的範數，不等式可寫為

另外，等式成立若且唯若x和y線性相關（或者在幾何上，它們是平行的，或其中一個向量的模為0）。

若 和 有虛部，內積即為標準內積，用拔標記共軛複數那么這個不等式可以更明確的表述為

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為連續函式，甚至是滿足1階利普希茨條件的函式。

特例

對歐幾里得空間Rⁿ，有

等式成立時：

也可以表示成

證明則須考慮一個關於 的一個一元二次方程式 ，很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式 。

注意到

即

而等號成立於判別式 時，也就是此時方程式有重根，故

• 對平方可積的復值函式，有
  

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恆等式
  

這是

在n=3 時的特殊情況。

複變函數中的柯西不等式

設在區域D及其邊界上解析，為D內一點，以為圓心做圓周，只要及其內部G均被D包含，則有：

其中，M是的最大值，。

其它推廣

參見

• 三角不等式
  
• 內積空間