施圖姆-劉維爾問題

施圖姆-劉維爾問題，即施圖姆-劉維爾理論，在數學及其套用中，以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆（1803–1855）和約瑟夫·劉維爾（1809–1882）的名字命名，具體定義見正文。

基本介紹

• 中文名：施圖姆-劉維爾問題
• 外文名：Sturm–Liouville theory
• 別稱：施圖姆-劉維爾理論

簡介

在數學及其套用中，以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆（1803–1855）和約瑟夫·劉維爾（1809–1882）的名字命名的施圖姆-劉維爾方程是指二階線性實微分方程：

其中函式p(x)，w(x)，q(x)均為已知函式；y(x)為待求解函式，稱為解； 是一個未定常數。w(x)又記為 ，稱為權函式。

在一個正則的施圖姆-劉維爾（S-L）本徵值問題中，在有界閉區間[a,b]上，三個係數函式{\displaystyle p(x),w(x),q(x)}應滿足以下性質：

均連續；y(x)}滿足邊界條件 及 。

只有一些恰當的 能夠使得方程擁有滿足上述條件的非平凡解（非零解）。這些 稱為方程的本徵值，對應的非平凡解稱為本徵函式，而本徵函式的集合則稱為本徵函式族。施、劉二人在一些由邊界條件確定的函式空間中，引入埃爾米特運算元，形成了施圖姆-劉維爾理論。這個理論提出了本徵值的存在性和漸近性，以及本徵函式族的正交完備性。這個理論在套用數學中十分重要，尤其是在使用分離變數法求解偏微分方程的時候。

施圖姆-劉維爾理論提出：施圖姆-劉維爾本徵值問題，存在無限多個實數本徵值，而且可以排序為：

對於每一個本徵值 都有唯一的（已被歸一化的）本徵函式 ，且 在開區間(a,b)上有且僅有n-1個零點。其中稱為滿足上述施圖姆-劉維爾本徵值問題的第n個基本解；

已歸一化的本徵函式族在希爾伯特空間 上有正交性和完備性，形成一組正交基：

其中 是克羅內克函式。

一些函式的施圖姆-劉維爾形式

只要乘以一個恰當的積分因子，所有二階常微分方程都可以寫成施圖姆-劉維爾形式。

貝塞爾方程

等價於：

勒讓德方程

注意到D(1−x) = −2x，因此等價於：

使用積分因子的例子

兩邊同時除以x:

再乘以積分因子：

得到：

又注意到：

因此原方程等價於：

一般形式二階常微分方程的積分因子

兩邊同時乘以積分因子：

整理後得到：

或者把積分因子寫出來：