方程回歸

方程回歸是指根據樣本資料通過回歸分析所得到的反映一個變數（因變數）對另一個或一組變數（自變數）的回歸關係的數學表達式。回歸直線方程用得比較多，可以用最小二乘法求回歸直線方程中的a、b，從而得到回歸直線方程。

基本介紹

• 中文名：方程回歸
• 外文名：Equation regression
• 描述：回歸分析
• 套用：回歸直線方程
• 學科：數學

概念

方程回歸是對變數之間統計關係進行定量描述的一種數學表達方法。指具有相關的隨機變數和固定變數之間關係的方程。回歸直線方程指在一組具有相關關係的變數的數據（x與y）間，一條最好地反映x與y之間的關係直線。離差作為表示X_i對應的回歸直線縱坐標y與觀察值Y_i的差，其幾何意義可用點與其在回歸直線豎直方向上的投影間的距離來描述。

工程結構物的拋物面方程回歸計算

拋物面天線是一種定向微波天線，具有結構簡單和方向性強等優點。拋物面天線由反射面和輻射器(發射或接收器)組成，反射面的幾何形狀必須精確符合設計的拋物面方程，輻射器的中心必須精確位於拋物面的焦點上，即拋物面工程結構物需要有很高的施工安裝精度，測設的物拋物面上點位坐標的理論值應按設計的拋物面方程計算。而建成後的精度鑑定和變形監測則需要根據實測數據從總體上驗證與設計數據的符合程度。對此必須用高精度電子全站儀測定拋物面上的離散點位，套用坐標變換和回歸計算的方法求得拋物面方程的參數和擬合的拋物面形體。按照測量的一般原則，需要有大量的多餘觀測值。因此，回歸計算必須用最小二乘法求取計算成果的最或然值。在此過程中，也可評定觀測對象的精度和進行變形分析。

位於三維空間的離散點位必須經過坐標變換，才能量測其有關的數據和擬合其幾何形體的標準數學模型。因此，求得坐標變換的參數是關鍵性的。測定離散點進行拋物面方程的回歸計算需要經過下列步驟:拋物面口的平面方程回歸、平面的法向量計算、坐標軸旋轉、圓心擬合、坐標軸平移、標準狀態下的拋物面方程回歸、坐標軸平移和旋轉(使拋物面形體與原始觀測點擬合)。由於存在大量的多餘觀測，在按最小二乘法的平差計算中需要計算改正值，用於粗差檢測和精度評定。

圖 1 任意坐標系中的拋物面

位於任意坐標系中的拋物面如圖1所示，其中拋物面口的點所構成的平面用虛線表示。在拋物面上測定的點的三維坐標組成“觀測點集“，是回歸計算的原始數據。

拋物面口的平面方程回歸計算

按照在拋物面口上測定的m1個點擬合出的平面方程式為

Ax+By+Cz+D=0(1)

將式(1)同除以D可得

A/Dx+B/Dy+D/Cz+1=0(2)

令A/D=A₁，B/D=B₁，D/C=C₁(3)

則式(1)可改寫為A₁x+B₁y+C₁z+1=0(4)

對於在同一平面上的點進行多餘觀測(觀測點數m1>3)，則每個測定點的坐標觀測值(xi，yi，zi)可列出其誤差方程式如下：

vi=A₁xi+B₁yi+C₁zi+1，i=1，2，…，m1(5)

設誤差方程式係數與近似值及其改正值的關係為

A₁=A⁰₁+δ_A

B₁=B⁰₁+δ_B

C₁=A⁰₁+δ_C(6)

則vi=(A⁰₁+δ_A)xi+(B⁰₁+δ_B)yi+(C⁰₁+δ_C)zi+1(7)

vi=xiδ_A+yiδ_B+ziδ_C+(A⁰₁xi+B⁰₁yi+C⁰₁zi+1)(8)

式中：δ_A，δ_B，δ_C為誤差方程式中未知參數，式(8)右端括弧內數值為常數項l_i。根據m1個平面觀測點的誤差方程式組成法方程式，可解得未知數δ_A，δ_B，δ_C，由此求得平面方程式(4)的係數A₁，B₁，C₁。

計算實例

拋物面回歸計算的成果除了數據以外，還應該包括拋物面的圖形繪製。在CAD中用LISP語言編制應用程式，能理想地完成計算與繪圖任務。因為LISP語言具有完備的計算功能，可以完成上述各種計算，並能調用CAD繪圖命令進行繪圖。但AutuCAD套用軟體尚缺少直接繪製拋物面的命令，因此需要採用以下繪圖步驟：從拋物面方程來看，當x=0時，z=ay²+b，說明拋物面與YOZ平面的相交線為一條拋物線；當y=0時，z=ax²+b，說明拋物面與XOZ平面的相交線為具有相同參數的拋物線。因此，在XOZ平面或YOZ平面按拋物線方程繪製一定數量的等間距離散點，用樣條曲線連線這些點繪製成拋物線，然後使其繞Z軸旋轉而形成拋物面圖形。這個拋物面擬合於“中心標準狀態點集”，如圖2所示。計算焦距f，並繪製焦點F。然後用複製命令(copy)複製拋物面及其中心軸和焦點，再用坐標變換方法(平移和旋轉)，將拋物面圖形及其中心軸和焦點擬合於原始的“觀測點集”，如圖1所示，使觀測對象在三維空間的實際位置可視化。所有計算和繪圖任務按本文所提供的數學公式和方法，編制LISP程式在CAD中實現，最後以檔案形式提供回歸計算的數據和圖形成果。

用高精度的無協作目標電子全站儀NET1200對某拋物面天線進行測量，採用獨立坐標系統觀測了拋物面口上11個點和拋物面上29個點(共觀測40點)的三維坐標。先用拋物面口上11個點擬合出平面方程式;根據平面的法向量姿態(方位角和天頂距)進行坐標變換，使法向量與坐標軸的Z軸平行(拋物面口呈水平狀態)，然後再根據這11個點在平面上擬合出拋物面口的圓心點坐標;將坐標原點平移至該圓心點;根據所觀測的40個點，在標準狀態下按拋物面進行回歸計算，由此得到拋物面方程式：

圖 2 標準狀態下的拋物面

Z=0.200728(X²+Y²)-1.01841

由此得到拋物面口圓半徑R=2.2530m，拋物面焦距f=1.2455m。回歸計算的精度為：平面擬合的單位權中誤差m01=±1.67mm，拋物面擬合的單位權中誤差m0=±4.36mm。觀測與計算結果與實際情況相符合。

研究結論

研究採用測定離散點進行拋物面方程回歸計算，其理論和方法為通過拋物面口的平面方程回歸、平面的法向量計算、坐標變換、圓心擬合、坐標軸平移、在標準狀態下的拋物面方程回歸等一系列數學運算，得到符合客觀實體的高精度的拋物面方程及其焦點的空間位置。實踐證明其能滿足拋物面結構物的施工安裝、精度檢驗和變形監測等的需要。

直升機載荷標定方程回歸變數的優選方法

直升機在研製和使用的過程中需要對結構部件進行載荷標定試驗，建立輸入載荷與應變電橋之間的定量關係，即載荷標定方程。將載荷標定方程套用在直升機使用中實測到的應變值上，可將應變時間歷程轉換為載荷時間歷程。這是進行結構設計定型、疲勞定壽的前提。

由於結構件在正常受載時，其應力在彈性範圍內．因此可用多元線性回歸方法得到載荷標定方程。在多元回歸分析中，自變數的選擇是最重要的問題。如果遺漏了重要的變數，或者將不顯著的變數也選入方程，會降低了載荷標定方程的精度。如何優選出應變參數組合，是準確獲得載荷標定方程最為重要的問題。

研究採用逐步回歸分析法選取自變數，其基本思想是按自變數與因變數影響程度的大小，逐個地由大到小將自變數引入回歸方程。而每引入一個自變數，都要對方程中的各個自變數做顯著性檢驗。檢驗時先選偏回歸平方和最小的自變數進行檢驗，若為顯著，余者皆為顯著;若檢驗差異不顯著，即從方程中剔出，直至留在方程中的自變數均檢驗為顯著後，再引入另一個與因變數影響最大的變數，並進行顯著性檢驗。如此反覆，直到沒有自變數可再引入，從而得到最優自變數子集，以此得到精度高的載荷標定方程。經驗證，這種選取自變數的方法是客觀可靠的。

理論分析

直升機載荷校準試驗的目的是建立起部件載荷與應變之間的關係模型，即載荷標定方程，這是直升機載荷飛行實測的關鍵環節，載荷方程的建立與最佳化直接決定了直升機載荷部件實測的精度。

載荷標定試驗記錄的原始數據由兩部分組成：①載荷向量y為一個n維的向量，n為標定試驗中記錄數據的次數；②應變參數矩陣x為一個n×m的矩陣，m為應變參數的個數。按照國軍標的要求，直升機在正常使用時，結構件受載應力應在彈性範圍內，根據力的疊加原理，標定方程可表示為

y=b₁x₁+b₂x₂+…+b_mx_m(1)

式(1)中x₁，x₂，…，x_m為各實測應變參數值；b₁，b₂，…，b_m為對應於各實測應變參數的真實係數；y為實測載荷參數值。載荷標定方程是一個多元線性方程，可用多元線性回歸的方法處理載荷標定試驗數據。

在進行應變改裝前，通常主要依據被測載荷與結構件的受力分析來確定應變片的貼上位置。由於結構件形式複雜多樣，在大多數的情況下，某個電橋的輸出不僅只對單一方向的載荷敏感，而可能對其他載荷都有輸出，但相應的靈敏度載荷是不一樣的。有的電橋在這種載荷作用下輸出很大，而在其他兩向載荷作用下輸出很小。因而需要將重要的變數選入方程，將不顯著的變數剔除，提高載荷標定方程的精度。採用逐步回歸的選元方法可以有效提高載荷標定方程的精度。

方法的驗證

選取一段某型直升機武器掛梁標定試驗的數據。其中，y為掛梁垂向載荷參數，在回歸時y作為因變數，x為掛梁各實測應變參數，根據理論分析和對試驗數據的觀察結果，從掛樑上改裝的12個應變參數中選取與載荷參數線性相關性較好的6個因變數作為回歸自變數。為了驗證載荷標定方程的準確性，在標定試驗之後進行了驗證載入，方法是採用靜態應變儀測量出武器掛梁實際載荷下各通道的應變值，代入採用多元回歸方法得到的載荷方程，得出計算值，通過計算值與實際載入值對比得出相對誤差。

表 1 回歸變數所有可能的組合結果

表1給出了x₁～x₆所有可能的組合情況分別進行回歸處理，計算各種組合情況下的相對誤差值。對表1中的數據進行逐步線性多元回歸處理，結果如式所示：

y=0.2258x₁+0.0102x₂+0.3765x₆

從表1中數據比較可以看出，利用逐步多元回歸方法處理載荷-應變線性多元回歸問題時，得出載荷標定方程的相對誤差值小於用多元回歸法得到所有可能的組合情況的相對誤差值，說明該方法選出的應變參數組合是最佳的。

研究結論

載荷標定方程自變數的選取很重要，直接影響著方程的精度，如果方程不準確，後續的載荷疲勞試驗及載荷飛行試驗數據也是不準確的，採用逐步多元回歸的方法對變數進行選取。利用實測武器掛梁數據，通過本研究方法進行了處理，然後通過用多元回歸分析處理的所有可能的自變數組合進行了誤差對比分析，對方法進行了驗證。最後將該方法套用到起落架載荷標定試驗中，並且通過預計載荷與實際載入載荷驗證檢驗了方程的精度。結果表明，該方法處理載荷-應變線性多元回歸問題時，可得到較高精度的載荷標定方程。