回歸(數學術語)

回歸，指研究一組隨機變數(Y1 ，Y2 ，…，Yi)和另一組(X1，X2，…，Xk)變數之間關係的統計分析方法，又稱多重回歸分析。通常Y1，Y2，…，Yi是因變數，X1、X2，…，Xk是自變數。

回歸分析是一種數學模型。

基本介紹

• 中文名：回歸
• 外文名：Regression
• 性質：數學術語
• 又稱：多重回歸分析

概念

回歸分析是一種數學模型。當因變數和自變數為線性關係時，它是一種特殊的線性模型。

最簡單的情形是一元線性回歸，由大體上有線性關係的一個自變數和一個因變數組成；模型是Y=a+bX+ε（X是自變數，Y是因變數，ε是隨機誤差）。

通常假定隨機誤差的均值為0，方差為σ^2（σ^2﹥0，σ^2與X的值無關）。若進一步假定隨機誤差遵從常態分配，就叫做正態線性模型。一般的，若有k個自變數和1個因變數，則因變數的值分為兩部分：一部分由自變數影響，即表示為它的函式，函式形式已知且含有未知參數；另一部分由其他的未考慮因素和隨機性影響，即隨機誤差。

當函式為參數未知的線性函式時，稱為線性回歸分析模型；當函式為參數未知的非線性函式時，稱為非線性回歸分析模型。當自變數個數大於1時稱為多元回歸，當因變數個數大於1時稱為多重回歸。

回歸分析內容

回歸分析的主要內容有以下：

①從一組數據出發，確定某些變數之間的定量關係式；即建立數學模型並估計未知參數。通常用最小二乘法。

②檢驗這些關係式的可信任程度。

③在多個自變數影響一個因變數的關係中，判斷自變數的影響是否顯著，並將影響顯著的選入模型中，剔除不顯著的變數。通常用逐步回歸、向前回歸和向後回歸等方法。

④利用所求的關係式對某一過程進行預測或控制。

回歸分析的套用非常廣泛，統計軟體包的使用可以讓各種算法更加方便。

回歸種類

回歸主要的種類有：線性回歸、曲線回歸、二元logistic回歸、多元logistic回歸。

分析的套用

相關分析研究的是現象之間是否相關、相關的方向和密切程度，一般不區別自變數或因變數。而回歸分析則要分析現象之間相關的具體形式，確定其因果關係，並用數學模型來表現其具體關係。比如說，從相關分析中我們可以得知“質量”和“用戶滿意度”變數密切相關，但是這兩個變數之間到底是哪個變數受哪個變數的影響，影響程度如何，則需要通過回歸分析方法來確定。

一般來說，回歸分析是通過規定因變數和自變數來確定變數之間的因果關係，建立回歸模型，並根據實測數據來求解模型的各個參數，然後評價回歸模型是否能夠很好的擬合實測數據；如果能夠很好的擬合，則可以根據自變數作進一步預測。

例如，如果要研究質量和用戶滿意度之間的因果關係，從實踐意義上講，產品質量會影響用戶的滿意情況，因此設用戶滿意度為因變數，記為Y；質量為自變數，記為X。根據圖8－3的散點圖，可以建立下面的線性關係：

Y=A+BX+§

式中：A和B為待定參數，A為回歸直線的截距；B為回歸直線的斜率，表示X變化一個單位時，Y的平均變化情況；§為依賴於用戶滿意度的隨機誤差項。

在SPSS軟體里可以很容易地實現線性回歸，回歸方程如下：

y=0.857+0.836x回歸直線在y軸上的截距為0.857、斜率0.836，即質量每提高一分，用戶滿意度平均上升0.836分；或者說質量每提高1分對用戶滿意度的貢獻是0.836分。

質量和客戶滿意度散點圖

上面所示的例子是簡單的一個自變數的線性回歸問題，在數據分析的時候，也可以將此推廣到多個自變數的多元回歸，具體的回歸過程和意義請參考相關的統計學書籍。此外，在SPSS的結果輸出里，還可以匯報R2，F檢驗值和T檢驗值。R2又稱為方程的確定性係數（coefficient of determination），表示方程中變數X對Y的解釋程度。R2取值在0到1之間，越接近1，表明方程中X對Y的解釋能力越強。通常將R2乘以100%來表示回歸方程解釋Y變化的百分比。F檢驗是通過方差分析表輸出的，通過顯著性水平（significant level）檢驗回歸方程的線性關係是否顯著。一般來說，顯著性水平在0.05以下，均有意義。當F檢驗通過時，意味著方程中至少有一個回歸係數是顯著的，但是並不一定所有的回歸係數都是顯著的，這樣就需要通過T檢驗來驗證回歸係數的顯著性。同樣地，T檢驗可以通過顯著性水平或查表來確定。在上面所示的例子中，各參數的意義如表1－1所示。

表1－1線性回歸方程檢驗

指標	值	顯著性水平	意義
R	0.89		“質量”解釋了89%的“用戶滿意度”的變化程度
F	276.82	0.001	回歸方程的線性關係顯著
T	16.64	0.001	回歸方程的係數顯著