數據擬合

數據擬合又稱曲線擬合，俗稱拉曲線，是一種把現有數據透過數學方法來代入一條數式的表示方式。科學和工程問題可以通過諸如採樣、實驗等方法獲得若干離散的數據，根據這些數據，我們往往希望得到一個連續的函式（也就是曲線）或者更加密集的離散方程與已知數據相吻合，這過程就叫做擬合(fitting)。

基本介紹

• 中文名：數據擬合
• 外文名：Curve fitting
• 性質：擬合
• 屬性：數據
• 函式擬合：a=polyfit(xdata,ydata,n)
• 學科：數理科學
• 別名：曲線擬合

定義

曲線擬合，俗稱拉曲線，是一種把現有數據透過數學方法來代入一條數式的表示方式。

在MATLAB的NAG Foundation Toolbox中也有一些曲面擬合函式，如e02daf是最小二乘平方曲面擬合函式，e02def可求出曲面擬合的函式值。

MATLAB軟體提供了基本的曲線擬合函式的命令．

擬合直線或多項式曲線

方程在笛卡爾平面上是一條直線，而這條直線的斜率是a。因為任何兩點可以決定一條直線，因此總能找到次數不多於1的多項式來串起任何兩個x值相異的點。

如果把多次式的次數增加到2

。

那么只要給定x值各異的3點，總會有次數不多於2的多項式可以把它們串起。

如果把多次式的次數再增加到3

。

那么只要給定x值各異的4點，總會有次數不多於3的多項式可以把它們串起。

對於這條多項式，更正確的描述是這條多項式附合任何4個限制。限制可以是一點（x,y）、角度或曲率（即半徑的倒數 1/R）。角度和曲率的限制通常在曲線的終端，因此稱為終端條件。為了樣條(spline) 的交接平滑，通常會用到全等的終端條件。 也可以增加如曲率變化等高階約束。例如，在高速公路立體交叉點cloverleaf的設計中，可以用來理解當汽車繞著交叉點運動時作用在汽車上的力，並依此設定合理的限定時速。

一次多項式也可以擬合一個單點和一個角度，三次多項式則可以擬合兩點，一個角度約束以及一個曲率約束。許多其它類型的約束組合也同樣可以用低階或者高階多項式來擬合。

如果有超過n+1個約束（n是多項式的階次），仍然可以使用多項式擬合。通常一個滿足所有約束的精確擬合不一定能夠得到（但是有可能得到，例如，用一次多項式擬合共線的三點三點共線）。通常，我們需要使用一些方法來評價擬合的好壞。最小平方法就是用來評價差別的一種常用的方法。

Matlab實現方法

多項式函式擬合

a=polyfit(xdata,ydata,n)

其中n表示多項式的最高階數，xdata，ydata為將要擬合的數據，它是用數組的方式輸入．輸出參數a為擬合多項式 的係數 ,相對應的次數為由高到低。

多項式在x處的值y可用下面程式計算。

y=polyval(a,x)

有了x和y就可以把擬合的圖形畫出來，並且同時與原圖對比

plot(xdata,ydata,x,y)

一般的曲線擬合

p=curvefit(‘Fun’,p0,xdata,ydata)

其中Fun表示函式Fun(p,data)的M函式檔案，p0表示函式的初值．curvefit()命令的求解問題形式是

若要求解點x處的函式值可用程式f=Fun(p,x)計算。

例如已知函式形式 ，並且已知數據點 要確定四個未知參數a，b，c，d．

使用curvefit命令，數據輸入 ；初值輸 ；並且建立函式 的M檔案（Fun．m）．若定義 ，則輸出

曲線擬合實驗圖

利用COMSOL Multiphysics 擬合實驗，見下圖1。

圖1 曲線擬合樣圖