數乘向量

基本介紹

數乘向量：（1）對於向量a=

與實數k，在兩點O，A所確定的直線上取一點B，使有向線段

與

的數量之比等於k(當k>0時，

與

同向；當k<0時，

與

反向；當k=0時，

=0)，這時向量b=

用b=ka表示，這種運算稱為向量的數量乘法，簡稱數乘，向量b稱為數k與向量a的乘積。

（2）實數λ與向量a的乘積λa是一個向量，它的模為|λa|=|λ|·|a|；λa的方向，當λ>0時與a同向，當λ<0時與a反向，當λ=0時有λa=0，我們把這種運算稱為數乘向量。

特別地，當λ =-1時，記(-1)a =-a。

由定義知λa與a是共線向量，任意非零向量a都可寫作a=|a|a，或

。這說明非零向量a乘以它的模的倒數，便可得到與它同方向的單位向量a，簡稱為把a單位化。

數量與向量的乘法滿足如下的運算規律:

(1) 1·a= a；

(2)結合律：λ(μa) = (λμ)a；

(3)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa；

(4)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb。

其中，a，b為任意向量，λ,μ為任意實數。

證明：(1)，(2)根據定義直接驗證。

(3)如果a = 0或λ,μ,λ+μ中至少有一個為零，那么等式顯然成立，因此只需證明當a≠0,λμ≠0,λ+μ≠0的情形。

①如果λμ>0，則(λ+μ)a,λa, μa同向，因此有

|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|=|λ||a|+|μ||a|=|λa|+|μa|=|λa+μa|，

所以有(λ+μ)a=λa+μa。

②如果λμ<0，不失一般性，不妨設λ>0,μ<0，再討論λ+μ>0和λ+μ<0兩種情形。下面只證明前一種情形。

設λ>0,μ<0,λ+μ>0，這時-μ>0，因λ+μ>0，由①有：

(λ+μ)a+(-μ)a=[(λ+μ)+(-μ)]a=λa，

所以(λ+μ)a=λa-(-μ)a =λa+μa。

(4)如果λ=0或a,b之中有一個為0，等式顯然成立。

下面證明λ≠0,a≠0,b≠0。

①若a, b共線，當a,b同向時，取

；當a,b反向時，

，

顯然有a=mb。於是有