線性代數數據元

線性代數數據元多個向量集成的向量組可構造矩陣，方陣的行列式是求矩陣的數量。三個數據元的表示方法是多樣的。

基本介紹

• 中文名：線性代數數據元
• 外文名：Linear Algebra

線上性代數中，向量是有活力的計算單元。向量能組成向量組，構成矩陣，建立向量子空間，並實現各類向量計算。多個向量集成的向量組可構造矩陣，方陣的行列式是求矩陣的數量。三個數據元的表示方法是多樣的。
def1.1 n維向量
設a1,a2,…, an是n個數，由這幾個數組成的有序數組(a1,a2,…, an)稱為一個n維向量。數a1,a2,…, an稱為向量分量。
[說明]：①常用

向量表示

向量表示（變數）

表示向量。

②不說明向量都是n維。
③.向量分量的關係沒有固定規則。然而向量的來源很多：性質相同的一組數；同一事物的不同屬性。例如：一個月內的溫度數據，可構成一個向量。例如：方程組中任一未知量係數構成一個向量，即向量可套用於方程組求解。一個形式完備的非齊次線性方程組（計算式）可用增廣矩陣

向量組構造的增廣矩陣

向量組構造的增廣矩陣

表示 ，稱為計算式的集合簡化形式。構成係數列向量的分量因為公共解集之間。

構造向量後可實現向量計算(向量加法與數乘)，例如向量組的線性組合（複合計算）：

向量的線性組合計算

向量的線性組合計算

&向量的表示方法.
1符號表示方法
①常量α,變數x .
2單向量具體表示方法
②轉置表示

列向量轉置表示

列向量轉置表示

； α= (1,2,3,4)行向量；

列向量表示：

列向量

列向量

.

3單向量的計算式表示方法
③線性組合:

向量的線性組合表達式

向量的線性組合表達式

④向量的矩陣乘:

向量的矩陣乘法表示

向量的矩陣乘法表示

4向量集合表示方法
⑤變數x屬於某一個向量集合,只用一個變數x代表一個集合。

⑥向量組枚舉表示：

枚舉集合表示

枚舉集合表示

,

可簡記為

簡化表示

簡化表示

⑦變係數線性組合

變係數

變係數

,其中數

簡化表示

簡化表示

屬於某一個實數域是變數數,當組合係數變數取不同值時可表示不同的向量,因此能夠表示一個向量集合.

⑧矩陣:

矩陣的向量表示

矩陣的向量表示

⑨向量空間
⑩生成（子）空間
[說明]:
1.從該集合中給x賦不同值,則用一個變數代替了這個集合的所有向量，因此是集合表示方法。有些變數只有一個值，所以不是集合表示，與用法⑤不同。
2.矩陣可由一個向量組構造,但並不是一個向量組.
3.在公式表示法中,可以先給向量賦值再計算,也可以先化簡再帶入具體值.所以計算式表示法,向量可是抽象形式也可是具體值形式.
4⑥⑦都是集合的表示方法，⑥是枚舉表示方法，一般用在有限離散元素集合。⑦是謂詞表示方法，用元素變數的計算式關係（方程，不等式）表示。枚舉方法簡單直觀，但是有時並不能說明元素構成集合的成因，用謂詞法表示元素功能，完整描述了集合的功能信息。
def1.1.1向量組
s個向量構成的集合，稱為（一個）向量組。
[說明]不同向量組的功能不同。一個向量組可以構成一個向量空間。將向量組的元素排列成一個矩形，稱為矩陣。

def1.2 矩陣
由s*n個數排成s行n列的一個數表，稱為矩陣，常

符號表示

符號表示

，即

數值表示

數值表示

。若s=n，則稱為方陣。

[說明]①.矩陣可用簡化形式

簡化表示

，i表示行標（分量序數），j表示列標（向量序數）。AII稱為對角線元素。{aij(j=1,…n)}稱為矩陣的第i行元素,可視為行向量，{aij(i=1,…n)}稱為矩陣的第j列元素, 可視為列向量.

②矩陣是具有隱形式計算的數據元。
a.與階梯形對應的初等變換，可相似或契約對角化。
b.數量。行列式，特徵值（特徵多項式）
c.伴隨矩陣集合={轉置矩陣，逆矩陣，伴隨矩陣；簡化階梯形，相似對角陣或
者契約對角陣}
③常量矩陣
a.0矩陣（加法0元）：元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作

.

b.單位矩陣（乘法不變元）：

單位矩陣

單位矩陣

c.常量矩陣

常數矩陣

常數矩陣

d.對角矩陣形如

對角矩陣（並不是上三角，下三角矩陣）

對角矩陣（並不是上三角，下三角矩陣）

的方陣稱為對角陣．

④矩陣的結構.
a.可將向量組排列成矩陣，矩陣中可由行向量組或列向量組構成。然而矩陣仍然可以視為由s*n個元素構成的平面數表.
b.行向量組或列向量組構成的二級結構

矩陣的向量組結構

矩陣的向量組結構

.

c.分塊矩陣（子矩陣）構成，可稱為廣義矩陣。
矩陣的結構（劃分partition）是某一類可重構計算的理論基礎，這一類可重構計算的基本單元是相同的，而且也是計算單元粒度劃分的基礎。
⑤矩陣不僅僅是數的集合，而且有位置的排列，稱為結構。因此對類似八皇后的問題可構造相關的矩陣邏輯計算處理。
def1.3 行列式
由n的平方個數排成一個正方形數表,加記號| |.它的值是所有取自不同行不同列的n個元素

行序列序列符號

矩陣的型

1

的乘積的代數和.代數和的正負號由
.

決定,即可寫成

序列展開式

1

。這裡

序列的變數表示代數和

1

表示對列標形成的n階排列

序列變數表示

1

要遍取所有n階排列時求和,顯然應有項,稱上式為n階行列式的表達式(或稱完全展開式).

.1 n=1,
.2高階行列式
n>3的行列式
[說明] ① 個數排成的一個正方形數表，加記號||,這個數表可視為多維的數量分布，如同密度的不均勻分布。行列式可直接來自矩陣，因此可視為矩陣的數量分布，是矩陣整體數量特徵的提取。
②行列式是有算符的數據結構，運算符||也具有集合符號的功能。