指標集對於實變函式是非常重要的。設一集合為I，若對於每個a∈I，都對應了一個集合Aa，則由這些Aa的全體構成的集合A稱之為集合族，I就是該集合族的指標集。
基本介紹
- 中文名：指標集
- 定義：實變函式非常重要的概念
- 相關：集合族的概念
- 制定：一個集合Aa
- 領域：數學
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概念
指標集是實變函式非常重要的概念，與集合族的概念密切相關。設一集合為I，則對於每個a∈I，都對應了一個集合Aa，則由這些Aa的全體構成的集合A稱之為集合族，I就是該集合族的指標集。簡單的說，就是對於每個a∈I，制定了一個集合Aa，則{Aa| a∈I}叫集合族，I為指標集。
如n ∈N，則定義Qn={x| x∈N,<n}，則集合族為{Qn| n∈N}，其指標集為N。也就是說，在N中任取一個n，都可以得到一個集合Qn，那么這些Qn的集合稱之為集合族。指標集就是幫助集合A索引標定所生成的集合。
實變函式
以實數作為自變數的函式叫做實變函式，以實變函式作為研究對象的數學分支就叫做實變函式論。它是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。所謂點集論，就是專門研究點所成的集合的性質的理論，也可以說實變函式論是在點集論的基礎上研究分析數學中的一些最基本的概念和性質的。比如，點集函式、序列、極限、連續性、可微性、積分等。實變函式論還要研究實變函式的分類問題、結構問題。實變函式論的內容包括實值函式的連續性質、微分理論、積分理論和測度論等。
也是在那時，數學家逐漸發現分析基礎本身還存在著許多問題。比如，什麼是函式這個看上去簡單而且十分重要的問題，數學界並沒有形成一致的見解。以至長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數學結果，弄不清究竟誰是正確的。又如，對於什麼是連續性和連續函式的性質是什麼，數學界也沒有足夠清晰的理解。
十九世紀初，曾經有人試圖證明任何連續函式除個別點外總是可微的。後來，德國數學家維爾斯特拉斯提出了一個由級數定義的函式，這個函式是連續函式，但是維爾斯特拉斯證明了這個函式在任何點上都沒有導數。這個證明使許多數學家大為吃驚。
由於發現了某些函式的奇特性質，數學家對函式的研究更加深入了。人們又陸續發現了有些函式是連續的但處處不可微，有的函式的有限導數並不黎曼可積；還發現了連續但是不分段單調的函式等等。這些都促使數學家考慮，我們要處理的函式，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深入研究各種函式的性質。比如，連續函式必定可積，但是具有什麼性質的不連續函式也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什麼樣的？連續函式不一定可導，那么可導的充分必要條件又是什麼樣的？……
上面這些函式性質問題的研究，逐漸產生了新的理論，並形成了一門新的學科，這就是實變函式。
集合
集合（簡稱集）是數學中一個基本概念，它是集合論的研究對象，集合論的基本理論直到19世紀才被創立。最簡單的說法，即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義，集合就是“確定的一堆東西”。集合里的“東西”，叫作元素。
由一個或多個確定的元素所構成的整體叫做集合。若x是集合A的元素，則記作x∈A。集合中的元素有三個特徵：1.確定性（集合中的元素必須是確定的）。 2.互異性（集合中的元素互不相同）。例如：集合A={1，a}，則a不能等於1）。 3.無序性（集合中的元素沒有先後之分），如集合{3,4,5}和{3,5,4}算作同一個集合。
集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總成的集體，這些對象稱為該集合的元素。
例如全中國人的集合，它的元素就是每一個中國人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，則稱x屬於S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬於S，記為y∉S。一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。
集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。
集合論
數學的一個基本的分支學科，研究對象是一般集合。集合論在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含了集合、元素和成員關係等最基本的數學概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的“集合”與“集合成員”等術語來形式化地建構數學物件。
在樸素集合論中，集合被當做一堆物件構成的整體之類的自證概念。
集合論在幾何、代數、分析、機率論、數理邏輯及程式語言等各個數學分支中，都有廣泛的套用。
集合的元素應該滿足某些公理。可以建立各種集合論公理系統，例如1904年至1908年間，策梅洛(E.Zermelo，德，1871—1953)為避免羅素悖論提出的第一個集合論公理系統(ZF系統)。有關集合論基礎的重要問題，至今還沒有得到完滿的解決。
