指數積分

在數學中，指數積分是函式的一種，它不能表示為初等函式，是特殊的不完全伽馬函式之一。

基本介紹

• 中文名：指數積分
• 外文名：Exponential Integral
• 所屬學科：數理科學
• 屬性：特殊的不完全伽馬函式

指數積分的定義

n階指數積分(Exponential Integral)為

對正整數n≥1， 與 之間的遞推關係為

當自變數為正實數且 時，函式 滿足如下不等式

一階指數積分

一階指數積分（虛數自變數）是自變數取純虛數時的積分(即式(1)中 ）

該式也可以表示為如下等效形式

式中： 為歐拉一馬歇羅尼常數(Euler-Mascheroni constant)：

三階指數積分

三階指數積分（實數自變數）是自變數為正實數的指數積分(即式(1)中n=3）為

這一函式可用來計算無限片狀分布聲源的輻射噪聲場。對所有 都有效的一個近似式(基於式(3))為

對於在區間 上取值的x，此近似式的最大相對誤差為2%。

正弦積分函式與餘弦積分函式

正弦積分函式(Sine Integral Function)與餘弦積分函式(Cosine Integral Function)分別為

和

這兩個函式與指數積分的關係如下

由此可得

這兩個函式的漸近值為

和

指數積分與其它函式的關係

與對數積分

指數積分與對數積分 的關係： ；另外一個有密切關係的函式：；可以延伸到負數： ；我們可以把兩個函式都用整函式來表示：

此函式的性質：

；

；

指數積分還可以推廣為： 。

導數

函式 與 的導數有以下簡單的關係： ；然而，這裡假設了n是整數；複數n的推廣還沒有在文獻中報導，雖然這種推廣是有可能的。

復變數的指數積分

從定義中可以看出，指數積分與三角積分之間的關係： 。