拋物線插值法

拋物線插值法(parabolic interpolation method)亦稱二次插值法，是一種多項式插值法，逐次以擬合的二次曲線的極小點，逼近原尋求函式極小點的一種方法。具體做法是：設f(t)在t₁<t₂<t₃處的函式值依次為f(t₁)，f(t₂)和f(t₃)，用拋物線φ(t)=a₀+a₁t+a₂t²擬合f(t)，使滿足φ(t_i)=a₀+a₁t_i+a2t_i²(i=1,2,3)組成的方程組，對φ(t)求導並令其等於零，解得t=-a₁/2a₂，由上述方程組得到a₁和a₂，將其代入解式便有計算近似極小點的公式，每次的三點組中，中間點t₂的函式值均不大於搜尋區間[t₁，t₃]的兩端點的函式值，逐次疊代，逐步縮小搜尋區間.當相繼兩次疊代的極小點之間的距離小於某一預先給定的距離時，或者當逼近函式的值和原尋求函式的值之差小於某一允許誤差時，即可終止疊代。

基本介紹

• 中文名：拋物線插值法
• 外文名：parabolic interpolation method
• 別稱：二次插值法
• 簡介：一種多項式插值法
• 所屬學科：數學

基本介紹

多項式是逼近函式的一種常用的工具，在尋求函式極小點的區間上，可以利用在若干點處的目標函式值來構造一個多項式，作為目標函式的近似表達式，並用這個多項式的極小點作為原目標函式極小點的近似，重複套用這一方法進行疊代計算，直到得出滿意的結果為止，這種方法稱為插值法。常用的插值法有線性插值(切線法)、三次插值法、二次插值法，前兩種方法均要進行導數計算，下面介紹比較簡單常用的二次插值法又稱拋物線插值法。

方法步驟

設目標函式是連續的，三點滿足

構造拋物線

使

只要不為同一值，則就是一確定的拋物線，其中係數可由條件(2)定出，若記，則式(2)變成

設拋物線的極小點為，則應滿足，即

因此

利用克萊姆法則解方程組(3)並代入上式可得

由於三點函式值滿足“兩頭高，中間低”，故由此決守的拋物線，其極小點自然落在區間之內，這在幾何上是明顯的。

一般說來，僅通過一次工作，用拋物線代替求極小點，誤差可能較大。我們把作為搜尋區間的一個內點，通過比較與的大小，必可在中去掉或，使餘下的三點構成一個新的搜尋區間，且滿足函式值“兩頭高，中間低”的要求，再以這三個點為出發點，重複上述步驟，又可得到一個新的極小點的近似值。如此反覆進行，直到求得的極小點與已知三個點的中間一點滿足，即可終止疊代，為預先給定的正數。

還應注意的是，在每一次疊代中比較以確定下一次搜尋區間時，拋物線極小點可能落在之左，也可能落在之右。