三次插值法

三次插值法(cubic interpolation method)是一種多項式插值法，逐次以三次曲線φ(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³的極小點逼近尋求函式f(t)的極小點的一種方法.具體做法是：設t₁<t₂，在搜尋區間[t₁，t₂]中以φ(t)擬合f(t)，使滿足φ(t_i)=f(t_i),φ'(t_i)=f'(t_i), (i=1,2)（此式記為(1)式）對φ(t)求導並令其等於零，求得φ(t)在[t₁，t₂]中由a₀，a₁，a₂和a₃表示的極小點表達式，再由方程組(1)解得a₀，a₁，a₂和a₃，將其代入此表達式，便得f(t)的近似極小點，逐次疊代，當φ(t)在近似極小點處的導數值的絕對值小於某給定誤差時，疊代停止.用三次插值法尋求極小點一般比用二次插值法(參見“拋物線插值法”)有更快的收斂速度，但其每一輪疊代的計算量則比二次插值法要大。

基本介紹

• 中文名：三次插值法
• 外文名：cubic interpolation method
• 所屬學科：數學
• 簡介：一種多項式插值法
• 提出者：Davidon

基本介紹

三次插值法是在1959年由Davidon首先提出來的，它是用三次插值多項式 逼近 ，而求 的近似最小點的一種疊代算法。

二次多項式逼近法也稱拋物線法，它的原理是利用三個函式值來構造一個二次多項式逼近原來的函式。當函式的導數不難求得時，可以利用兩個點處的函式與導數來構造三次多項式逼近原來的函式。

為了保證極小點在給定區間的內部，要求函式在a點的右邊下降，而在b點的右邊上升。如果用a、 b兩點的導數表示，即

且

其幾何意義如圖1所示。

·

圖1

相關分析

設三次多項式的一般形式為

其中 是四個待定係數，它可由a、b兩點的函式值及其一階導數列出四個方程式，則可求得四個係數值。因為

若步長從a點計算起，即 ，由此可得：

又若 ，得

聯立解(3)～(6)式得出：

現要求在內的極小點作為原目標函式F(x)的極小點的一個近似，為此要求出方程：

在內的根，並根據極小點的充分條件，在此根處應有二階導數大於零，即

式(11)的兩個根

將式(13)代入式(12)，得

因為是求極小值，故根前應取正號，變換(13)式為：

得

當時，，是二次插值的情況；如，則是三次插值。