基本介紹
- 中文名:拉格朗日量密度
- 外文名:Lagrangian (field theory)
- 實質:從粒子體系到場體系的自然對應
- 別稱:拉格朗日量
概念,拉格朗日量定義,拉格朗日量與作用量的關係,拉格朗日表述,重要性,優點,可略坐標和守恆定律,檢驗粒子的拉格朗日量,參見,
概念
拉格朗日量定義
拉格朗日量是動能T與勢能V的差值:
通常,動能的參數為廣義速度 (符號上方的點號表示對於時間{\displaystyle t}的全導數),而勢能的參數為廣義坐標 ,所以,拉格朗日量的參數為 。解析一個問題,最先要選擇一個合適的廣義坐標。然後,計算出其拉格朗日量。假定這些參數(廣義坐標、廣義速度)都互相獨立,就可以用拉格朗日方程來求得系統的運動方程。
假設一個物理系統的拉格朗日量為,則此物理系統的運動,以拉格朗日方程表示為
其中, 是時間, 是廣義坐標, 是廣義速度。
拉格朗日量與作用量的關係
其中,是系統的拉格朗日量,廣義坐標是時間的函式,和分別為初始時間和終結時間。
假若,作用量的一次變分,作用量為平穩值,則正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算,可以推導出拉格朗日方程
詳盡相關導引,請參閱拉格朗日方程。
拉格朗日表述
重要性
拉格朗日表述是經典力學的一種重新表述。拉格朗日表述的重要性,不只是因為它可以廣泛套用在經典力學;而更是因為它能夠幫助物理學家更深刻地了解一個物理系統的物理行為。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經典力學的方法,他用來推導拉格朗日方程的平穩作用量原理,已被學術界公認為在量子力學也極具功用。
優點
- 如果用同樣的表述可以分析不同學術領域的物理系統,這些系統必定有結構上的類推。在一個學術領域的新發現,意味著很可能在另一個學術領域會有類似的現象。
可略坐標和守恆定律
拉格朗日量有一個優良的性質,那就是守恆定律可以很容易地從它的表達式讀出來。例如,假設拉格朗日量跟某廣義速度有關,而跟廣義坐標無關,則對應的廣義動量是一個守恆量。這種坐標稱為“可略坐標”,或“循環坐標”。更詳細地說,拉格朗日量的形式為
直接檢視,就可以發覺跟無關,因此可以推斷是一個守恆量。