拉東-尼科迪姆定理

拉東-尼科迪姆定理是測度論的重要定理，是牛頓-萊布尼茲公式的推廣。拉東-尼科迪姆導數具有通常點函式導數的某些性質。

基本介紹

• 中文名：拉東-尼科迪姆定理
• 外文名：Radon-Nikodym theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

拉東-尼科迪姆定理是測度論的重要定理，是牛頓-萊布尼茲公式的推廣。

設(Ω,𝓕,μ)是σ有限測度空間，γ是𝓕上的σ有限的廣義測度。若γ關於μ絕對連續，則存在Ω上的一個實值μ可測函式f，使得對每個A∈𝓕有

當γ為測度時，可取f為非負可測函式，函式f在關於μ幾乎處處相等的意義下是惟一的，f稱為廣義測度γ關於測度μ的拉東-尼科迪姆導數，記為dγ/dμ。拉東-尼科迪姆導數具有通常點函式導數的某些性質。

發展

積分運算從誕生的時候起，就顯示了與微分運算的密切聯繫。

牛頓與萊布尼茲首先從幾何上發現了下述微積分基本定理，即牛頓-萊布尼茲公式：設F(x)在[a,b]上可導，且導函式F'(x)=f(x)在[a,b]上黎曼可積，則

但一般地，F(x)在[a,b]上的導函式F'(x)即使有界，也不一定是黎曼可積的，沃爾泰拉於1881年就構造了這樣的例子，這就使在分析數學中至關重要的微積分基本定理的套用收到了限制。

勒貝格於1902年引入了一類新的積分--勒貝格積分，並於1904年證明了，在[a,b]上按他的意義可積的函式f(z)的變上限的積分

這對[a,b]上幾乎所有的點x，導數F'(x)存在且等於f(x)。

維塔利於1905年引入了絕對連續函式的概念，並且證明了

成立的充分必要條件是F'(x)=f(x)a.e.於[a,b]，且F(x)在[a,b]上上絕對連續的。勒貝格積分擴大了使微積分基本定理成立的函式類。

拉東於1913年把它推廣到定義在n維歐氏空間中的波萊爾測度的情形。

尼科迪姆(Nikodym,O.M.)於1929年進一步推廣到測度空間上的積分。

測度論

測度論是研究一般集合上的測度和積分的理論。它是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進一步抽象和發展，又稱為抽象測度論或抽象積分論，是現代分析數學中重要工具之一。 測度理論是實變函式論的基礎。

測度理論是實變函式論的基礎。所謂測度，通俗的講就是測量幾何區域的尺度。 我們知道直線上的閉區間的測度就是通常的線段長度； 平面上一個閉圓盤的測度就是它的面積。