拉東-尼科迪姆導數

簡介

拉東-尼科迪姆導數又稱為測度的相對導數，是點函式的導數概念的推廣。

對關於測度v絕對連續的測度μ，存在實值v可測函式f(x)，使當A為任意μ可測集時，有

這裡的f(x)就稱為測度μ相對於v的導數，記為dμ/dv。

拉東-尼科迪姆導數的性質與普通導數的性質十分相似，例如它的線性運算法則是

還有鏈式法則也成立，即若測度μ，v，λ都是σ有限的，且μ⪻v，v⪻λ，則

關於測度λ幾乎處處成立。

特別地，若μ和v都是Rn的波萊爾子集類上的σ有限測度，f關於v可積，且有

這是由勒貝格定理和拉東-尼科迪姆定理得到的μ的分解，則

關於測度v對x∈R幾乎處處成立，其中Q_x(h)是以x為中心，邊平行於坐標軸且邊長為h的n維立方體，即這時測度的相對導數可表為極限，進一步與函式的導數相似。

拉東-尼科迪姆定理是測度論的重要定理，是牛頓-萊布尼茲公式的推廣。

設(Ω,𝓕,μ)是σ有限測度空間，γ是𝓕上的σ有限的廣義測度。若γ關於μ絕對連續，則存在Ω上的一個實值μ可測函式f，使得對每個A∈𝓕有

當γ為測度時，可取f為非負可測函式，函式f在關於μ幾乎處處相等的意義下是惟一的，f稱為廣義測度γ關於測度μ的拉東-尼科迪姆導數，記為dγ/dμ。