基本介紹
- 中文名：戴德金η函式
- 外文名：Dedekind eta function
簡介,全純函式,模形式,
簡介
對每個屬於上半平面的複數τ，置
，則η函式表為
η函式滿足以下函式方程：
一般而言，對
，我們有
由此函式方程可知η是權1/2的模形式，因此可由η構造更多的模形式，例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為
事實上，由函式方程可知
是權12的模形式，而這類模形式構成復一維向量空間，比較傅立葉展開的常數項，上式立可得證。
全純函式
全純函式（holomorphic function）是複分析研究的中心對象；它們是定義在複平面C的開子集上的，在複平面C中取值的，在每點上皆復可微的函式。這是比實可微強得多的條件，暗示著此函式無窮可微並可以用泰勒級數來描述。
解析函式（analytic function）一詞經常可以和“全純函式”互相交換使用，雖然前者有幾個其他含義。全純函式有時稱為正則函式。在整個複平面上都全純的函式稱為整函式（entire function）。“在一點a全純”不僅表示在a可微，而且表示在某箇中心為a的複平面的開鄰域上可微。雙全純（biholomorphic）表示一個有全純逆函式的全純函式。
模形式
在數學上，模形式是一種解析函式，這種函式的只接受來自複數平面內上半平面中的值，並且這種函式在一個在模型群的群運算之下，會變成某種類型的函式方程，並且通過函式計算出的值也會呈現出某個增長趨勢。模形式理論屬於數論的範疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和弦理論。
模形式理論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發展大致可分成三期：
