惟一分解定理

惟一分解定理有多種指代意義，一個是指整數惟一分解定理，即算術基本定理，也可以指多項式的惟一分解定理，是多項式理論的主要命題之一，還可以指交的惟一分解定理，它是交換諾特環理論的基本定理，也是理想論的核心，也指乘積的惟一分解定理，它是交的惟一分解定理在有單位元的諾特環中的套用。

基本介紹

• 中文名：惟一分解定理
• 外文名：unique decomposition theorem
• 所屬學科：數學
• 簡介：整數、多項式、交的惟一分解定理

整數惟一分解定理

整數惟一分解定理亦稱算術基本定理，是數論的重要定理之一。該定理斷言：任何一個大於1的整數n都可以分解成若干個素因數的連乘積，如果不計各個素因數的順序，那么這種分解是惟一的，即若n>1，則有

n=p₁p₂…p_m，　(1)

其中p₁≤p₂≤…≤p_m皆素數，上式常簡記為

其中，p₁<p₂<…<p_k皆素數，α_i(i=1，2，…，k)皆正整數，(2) 式稱為n的標準分解式，又稱為質因數分解式、素數冪分解式等，若(2)式成立，則n的任一正因數d都可表示成

的形式，其中α_i≥β_i≥0 (i=1，2，…，k).利用標準分解式(可查素數冪分解表)容易寫出任二正整數的最大公因數.即若有其中α_i≥0，β_i≥0 (i=1，2，…，k)，則，這裡r_i=min(α_i，β_i) (i=1，2，…，k)。把一個給定的充分大的整數分解成它的標準分解式，不僅具有理論意義，而且具有實際套用價值，但這是一個十分困難的工作，即使藉助於電子計算機也要花費驚人的時間，算術基本定理早在歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》第9卷命題20中已有陳述，1801年，高斯(C.F.Gauss)又重新提出，並給出證明。

多項式的惟一分解定理

多項式的惟一分解定理是多項式理論的主要命題之一，數域P上的每個次數大於零的多項式f(x)都可以分解為數域P上的不可約多項式的乘積，若

式中p_i(x)與q_j(x) (i=1，2，…，r;j=1，2，…，s)都是數域P上的不可約多項式，則r=s，並且適當調換q_j(x)的次序後，可使q_i(x)=c_ip_i(x)(i=1，2，…，r)，式中c_i是P中不為零的數.換句話說，如果不計次序與零次因式的差異，多項式f(x)分解為不可約因式乘積的分解式是惟一的.此即多項式的惟一分解定理.在多項式f(x)的分解式中，提出每一個不可約因式的首項係數，使它們成為首一多項式，然後合併相同的不可約因式，則f(x)的分解式為式中c是f(x)的首項係數，p₁(x)，p₂(x)，…，p_k(x)是P上互不相同的不可約多項式，r₁，r₂，…，r_k是正整數，f(x)的這種分解式稱為f(x)的標準分解式，或典型分解式。

交的惟一分解定理

交的惟一分解定理是交換諾特環理論的基本定理，也是理想論的核心，若R是交換諾特環，則R中任意理想N都有極小準素分解式

若(i=1，2，…，n)，則{P₁，P₂，…，P_n}是由N惟一確定的，與N的極小分解式無關;若Σ={P_i1，P_i2，…，P_im}是屬於N的一個素理想孤立集合，則

是由N和Σ惟一決定的，與極小準素分解式無關。

交的惟一分解定理是諾特(E.Noether)於1921年在交換環中引入極大條件後建立的，由於受代數幾何發展的促進，需要研究多項式環的理想理論，這個理論的一個重要問題是判斷一個多項式是否屬於理想(f₁，f₂，…，f_n)，判斷的方法就是把(f₁，f₂，…，f_n)分解為準素理想的交。

乘積的惟一分解定理

乘積的惟一分解定理是交的惟一分解定理在有單位元的諾特環中的套用，該定理斷言：若R是有1的交換諾特環，則R的每個理想A都可表示成兩兩互素的理想A_i的乘積，即A=A₁A₂…A_n，且每個A_i不能再分解成兩個互素理想的積，諸A_i由A惟一確定。