微分係數

微分係數

微分係數(differential coefficient)即導數,18世紀,拉格朗日(J.-L.Lagrange)在企圖用代數方法定義微積分的基本概念時,先定義x的函式的微分A·Δx,再求出它的係數A,並稱為微分係數,用通用的語言來說,它就是導數,這個名詞今已少用。

基本介紹

  • 中文名:微分係數
  • 外文名:differential coefficient
  • 所屬學科:數學(微分學)
  • 相關概念:導數,微分,可微等
  • 分類:左微分係數,右微分係數
基本介紹,相關概念,可微與導函式,無窮小量,切線,左微分係數和右微分係數,

基本介紹

是定義在區間
上的函式,如果a是區間
內的一點,那么
是定義在區間
內除a以外的
點上的函式,此時如果存在極限:
那么就稱
在a點處可微(differentiable),或者稱在
可微,並稱此極限為函式
在a點處的微分係數(differentiable coefficient),記為

相關概念

可微與導函式

當函式
在所屬區間內的任意點x均可微時,則稱函式
可微,或稱函式
關於 x可微。此時
也是定義在區間
上的關於x的函式,稱
為函式
導函式(derived function derivative),求函式
的導函式
,稱為對函式
進行微分,或函式
關於x進行微分。
在(1)式中如果用x替換a,用x+h替換x,則
時,用
表示
。有時也稱
微商(differentiable quotient)。令
,則
定理1如果函式
在x點可微,那么函式
在x點連續。
推論定義在某區間上的可微函式在該區間上是連續函式。

無窮小量

當自變數x增加
成為
時,相應地函式y也增加
成為
,因此把
分別稱為x和y的增量(increment)。
在x點可微時,設
是滿足h≠0的h的函式,並且
,雖然
是定義在h≠0的h的函式,但當h=0時,若定義
,則對所有的h,
成立,如果令函式
,那么
一般地,若
,則稱函式
無窮小量,當
是無窮小量時,無窮小量
用符號
表示,即用小寫字母o來代表
,在不關心函式
的具體形式時,用符號
很方便。如果使用這個符號,那么上式為:
上式(3)可寫為:
如果用a替換x,用x替換x+h,那么

切線

對在a點處可微的函式
,把由線性方程式
確定的直線:
稱為定義在圖像
點處函式
切線(tangentline)。在高中數學中,也稱它為在
點處圖像
的切線,其方程式是(7),但在我們這裡,把方程式(7)所確定的直線定義為在
點處
的切線。
表示函式
的微分係數的符號除
之外,還有
等。
微分係數
圖1

左微分係數和右微分係數

微分係數的定義
中,當a是
的定義域
的左端點,例如
時,
當x從右向a接近時的極限記作
,所以,
一般地,即使a是
的內點,如果極限
存在,則稱此極限為
在a點處的右微分係數(right differential coefficient)。用
表示:
並且這時,稱
在a點處向右可微,或右可微(right differentiable)。
又,設
,則
同理可定義左微分係數
例如,如果
是定義在區間
上的可微函式,則
,又,如果定義在區間
上的函式
的內點a處左可微和右可微,且
,那么
在a點處可微,並且,

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