變係數微分方程的譜方法研究

《變係數微分方程的譜方法研究》是依託華中科技大學，由劉飛擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：變係數微分方程的譜方法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉飛
• 依託單位：華中科技大學

項目摘要

研究變係數線性、非線性微分問題，無論在數學理論研究還是在物理過程模擬中都有極其重要的意義。本項目將研究解變係數非線性常微分方程與二維變係數變數可分的橢圓型偏微分方程的譜算法，套用於含有變係數數學物理方程的數值計算中。通過構造簡單的微分運算元、乘積運算元和Chebyshev多項式與Ultrasoherical多項式之間的轉換運算元，在譜係數空間離散微分方程。對於非線性微分方程，我們採用離散的Chebyshev變換計算非線性項，用Newton方法疊代求解非線性方程組。對於二維變係數問題，我們用滿足邊值條件的基函式表示數值解，計算雙變數函式的乘積矩陣，直接解帶狀的線性方程組，其計算複雜性為O(m^2 N^2), 其中m是矩陣的頻寬，優於配置方法解二維微分方程的O(N^6)運算量。以此為基礎，我們進一步解變密度的Navier-Stokes方程組。項目的研究將使譜方法套用於更廣泛的問題求解中。

結題摘要

項目研究二維、三維橢圓型偏微分方程的高效最優譜算法。針對二維直角坐標區域上不同的邊值條件，如周期邊界，Dirichlet邊界，Neumann邊界，Robin邊界條件等，對典型的橢圓型偏微分方程，如Poisson方程、Helmholtz方程提出高效快速求解的譜係數展開方法，並套用於拋物型偏微分方程的空間變數數值離散計算。通過交替方向隱式疊代求解Sylvester矩陣方程，能得到如同有限差分五點格式計算Poisson方程的快速譜算法。基於Poisson方程的最優譜算法，我們進一步研究了變係數和非線性的偏微分方程快速譜算法，套用於不可壓縮流體的Navier-Stokes方程組，以及相場模型。項目的研究將使譜方法套用於更廣泛的問題求解中。