度量張量

在黎曼幾何裡面，度量張量，物理學譯為度規張量，是指用來衡量度量空間中距離及角度的二階張量。

基本介紹

• 中文名：度量張量
• 外文名：Metric tensor
• 別名：黎曼度量
• 物理學定義：度規張量
• 用途：衡量度量空間中距離，面積及角度
• 套用學科：數學

介紹

在黎曼幾何裡面，度量張量（英語：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理學譯為度規張量，是指一用來衡量度量空間中距離，面積及角度的二階張量。

當選定一個局部坐標系統，度量張量為二階張量一般表示為 ，也可以用矩陣表示，記作為G或g。而記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為“矩陣元素”）。

定義

a到 b的弧線長度定義如下，其中參數定為t，t由a到b:

兩個切矢量的夾角 ,設矢量和 ，定義為：

若 f為 到 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式G，由以下方程計算得出：

J 表示f的雅可比矩陣，它的轉置為。著名例子有 之間從極坐標 到直角坐標(x,y) 的坐標變換，在這例子裡有：

這映射的雅可比矩陣為

所以

這跟微積分里極坐標的黎曼度量，一致。

例子

二維歐幾里德度量張量：

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

在其他坐標系統的歐氏度量：

極坐標系：

圓柱坐標系：

球坐標系：

平面閔可夫斯基空間：

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：