度量幾何即歐幾里得幾何，是確定或表述幾何量中長度、面積和體積的一種方法。最早人們依靠直觀進行推演計算。歐幾里得《幾何原本》中套用的“阿基米德公理”成為近代幾何度量理論的基本公理之一。
基本介紹
- 中文名：度量幾何
- 領域：數學
- 學科：幾何學
- 性質：歐幾里得幾何
- 提出者：歐幾里得
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概念
歐幾里得幾何簡稱“歐氏幾何”。公元前約三百年，由古希臘數學家歐幾里得所創立。他總結了古代勞動人民在實踐中獲得幾何和數的知識，加以系統化，採用演繹方法寫成了13卷的巨著《幾何原本》。該書把人們在實踐中證明了的事實，概括出23個定義、5條公設、5條公理。例如“在平面上過直線外一點，只能作一條直線與它 平行” (“第五公設”) ; “三角形內角和等180°”;“存在相似多邊形”等等。從這些定義、公理和公設出發，通過演繹方法研究各種空間形式及其與數量間的關係，建立了公理化的幾何體系，就形成了歐氏幾何。按照所討論的圖形在平面上或在空間中分別稱為《平面幾何》與《立體幾何》。
詳細介紹
歐幾里得幾何是幾何學的一門分科。數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。
歐氏幾何源於公元前3世紀。古希臘數學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理(公設)，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。按所討論的圖形在平面上或空間中，又分別稱為“平面幾何”與“立體幾何”。
其中公理五又稱之為平行公設（Parallel Postulate），敘述比較複雜，並不像其他公理那么顯然。這個公設衍生出“三角形內角和等於一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波爾約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是“三角形內角和不一定等於一百八十度”，從而發現非歐幾里得的幾何學，即“非歐幾何”（non-Euclidean geometry）。
另一方面，歐幾里得幾何的五條公理並未具有完備性。例如，該幾何中有定理：在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。 因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。
公理
歐式幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的“真命題”。
歐式幾何的五條公理是：
2、任意線段能無限延長成一條直線。
通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。
另外五條公理是：
1、等於同量的量彼此相等。
2、等量加等量，其和仍相等。
3、等量減等量，其差仍相等。
4、彼此能夠重合的物體是全等的。
5、整體大於部分。
意義
在證明幾何命題時，每一個命題總是從再前一個命題推導出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推導出來的。我們不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性並被公認下來的命題稱為公理，如“兩點確定一條直線”即是一例。同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數學理論系統中，我們儘可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發點，利用純邏輯推理的方法，把該系統建立成一個演繹系統，這樣的方法就是公理化方法。歐幾里德採用的正是這種方法。他先擺出公理、公設、定義，然後有條不紊地由簡單到複雜地證明一系列命題。他以公理、公設、定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然後又以此為基礎，來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止。零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最複雜結論的系統。因而在數學發展史上，歐幾里德被認為是成功而系統地套用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數學體系的典範。
歐幾里得
古希臘著名數學家。雅典人。歷史上被稱為“幾何學之父”，所著《幾何原本》13卷，是世界上第一部公理化的數學著作，對後世數學的發展有巨大的影響。還著有：《數據》、《圖形分割》、《論數學的偽結論》、《光學之書》、《反射光學之書》等。歐幾里得是一位品德高尚的數學家，一生獻身於科學，對做官、賺錢毫無興趣。他對學生循循善誘，反對學習上投機取巧、捨不得下苦功的作風。據傳，亞歷山大國王多祿米想趕時髦學點幾何學，可是剛學一點就不耐煩了，便問歐幾里得：“學習幾何學，有沒有便當一點的途徑，一學就會?”歐幾里得答道：“陛下，鄉下有兩種道路，一條是供老百姓走的難走的小路，一條是供皇家走的坦途。但是在幾何學裡，大家只能走同一條路。走向學問，是沒有什麼皇家大道的。”有個學生在學了第一定理後問他：“學習幾何究竟有什麼實際好處?”歐幾里得思索後對傭人說：“拿一點兒錢來給這位先生，他沒有錢是不肯學習的。”他對社會上耀武揚威、勾心鬥角的現象不屑一顧，認為“這些浮光掠影的東西終究會過去，但是，星羅棋布的天體圖案，卻是永恆地巋然不動。”
