基本介紹
- 中文名：幾何中的若干橢圓偏微分方程
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王志張
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
利用橢圓偏微分方程理論來解決流形上的若干存在性和唯一性問題，是微分幾何和復幾何中的重要問題。我們希望討論若干這類問題：(1)研究從雙球面到球面嵌入超曲面的預給定 Gauss-Kronecker 曲率，平均曲率和第 m 個平均曲率問題；(2) 討論形式型Calabi-Yau方程以及non-Kahler幾何中典則度量的存在性問題；(3)討論廣義Gauduchon度量存在性方程以及其在複流形上的套用；(4)考慮高余維平均曲率流的自收縮解的 Bernstein 型定理。
結題摘要
偏微分方程是微分幾何中研究的重要課題。很多重要的幾何問題最後都轉化為一些對於線性，擬線性和完全非線性方程的研究。本項目主要就是研究有幾何背景的一些橢圓偏微分方程，考慮這類方程的存在性，唯一性，或者幾何上的剛性，以及更多的幾何套用。項目期內，我們主要做了下面兩方面的工作：
（a）針對一般右端項的k-Hessian方程的全局曲率估計做了研究，找到很多這類估計的幾何套用，並考慮這類估計和方程正則性的關係；
（b）針對一般warped product 空間中 Weyl 問題做了研究，並試圖考慮與一般的擬局部質量的關係。以期望找到它在數學物理中有一些套用。
這兩方面的工作，我們主要得到了下面的結果：
（a）我們對於凸的情況給予了完整的回答，對於n-1-Hessian 情況也給予了完整回答。並將我們的結果套用於Dirichlet 問題的內部估計，得到了一些剛性結果；
（b）我們得到了這類問題的開性，非剛性性和某些條件下的剛性結果，並嘗試找出一般的Shi-Tam型不等式。
這兩方面工作的意義：
（a）工作對於搞清楚一般Hessian方程的全局曲率估計存在性和正則性這些基本問題以及一般預定曲率問題的可解性有重要的作用。
（b）工作對於考慮一般帶奇點時空上，也即在黑洞附近推廣擬局部質量和Shi-Tam不等式是非常重要的基礎性工作。
