希爾伯特邊值問題

希爾伯特邊值問題是尋求區域內的解析函式使得它在區域邊界上滿足某些邊界條件的問題。也有人將希爾伯特邊值問題稱為黎曼-希爾伯特邊值問題。

基本介紹

• 中文名：希爾伯特邊值問題
• 外文名：Hilbert boundary value problem
• 適用範圍：數理科學

簡介

希爾伯特邊值問題是尋求區域內的解析函式使得它在區域邊界上滿足某些邊界條件的問題。也有人將希爾伯特邊值問題稱為黎曼-希爾伯特邊值問題。

定義

設L是某區域G的邊界曲線，L的正向取成使G在其正（左）側。求 G 中的解析函式Φ(z)，使其在 L上的邊值Φ(t)滿足條件

其中γ(t)為已知函式，f(t)為已知實函式，此問題稱為希爾伯特邊值問題。

解析函式

區域上處處可微分的複函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函式Φ(x，y)與流函式Ψ(x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函式，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函式，後人又把它們稱為全純函式、解析函式。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。