對稱逐次超鬆弛法

對稱逐次超鬆弛法(symmetric successive overrelaxation method)簡稱SSOR方法，解線性方程組的常用疊代法之一，它是逐次超鬆弛法的對稱化。

基本介紹

• 中文名：對稱逐次超鬆弛法
• 外文名：symmetric successive over relaxation method
• 簡稱：SSOR方法
• 性質：是解線性方程組的常用疊代法之一
• 所屬問題：線性方程組數值解法
• 相關問題：鬆弛法，超次鬆弛法等

基本介紹

對稱逐次超鬆弛法簡稱SSOR方法，是解線性方程組的常用疊代法之一，它是逐次超鬆弛法的對稱化。設線性方程組為

SSOR方法的疊代公式為

對稱逐次超鬆弛方法常與切比雪夫加速技巧結合使用而構成一種十分有效的算法。

逐次超鬆弛法

鬆弛法是逐步減少每個未知值偏差的一種方法。偏差是一個未知值與正確解的差。超鬆弛法是根據一種利用兩個相繼代換步驟的線性外插法。在這個意義上，逐次超鬆弛法可以看作是高斯-賽德爾法的擴充。

設方程組為

逐次超鬆弛疊代法的疊代公式為

其中ω為一參數，稱為鬆弛因子。為使疊代法收斂，理論分析表明，ω必需屬於，ω選取得好，可以大大加速疊代的收斂性。當係數矩陣對角占優或對稱正定時，可保證SOR疊代法收斂。

由Seidel 方法得到SOR 方法

逐次超鬆弛法(SOR 方法，Sucessive Over Relaxation Method)可看成是Causs-Seidel方法的加速，Seidel疊代法是SOR方法的特例。

將Seidel方法的疊代公式

改寫為

記

則

為加快收斂速度，在增量前加一個因子，得

稱之為SOR 法，稱為鬆弛因子(relaxation factor)，當時，稱為低鬆弛法(under-relaxation method)；選擇適當的鬆弛因子能使不收斂的Gauss-Seidel疊代法變成為收斂的疊代方法，當時，就是Gauss-Seidel疊代法；當時，稱為超鬆弛法(over-relaxation method)，選擇適當的鬆弛因子能使收斂的Gauss-Seidel疊代法獲得加速收斂的效果。

將(1)改寫成向量形式為

由此得SOR方法的矩陣形式疊代公式為，其中