對偶範數

對偶範數是泛函分析中的一個概念，代表一種測度或者距離，與範數的含義一致，表示一個數。考慮一個賦范向量空間的對偶空間時，常常需要給對偶空間賦以合適的幾何架構。對偶範數是一種自然的賦范方式。

基本介紹

• 中文名：對偶範數
• 外文名：Dual norm
• 套用學科：泛函分析
• 定義：是一種自然的賦范方式
• 相關術語：範數
• 表示：代表一種測度或者距離

定義

令 為 上的範數。對應的對偶範數，用 表示，定義為

上式含義為: 對於某一個的範數小於1的向量 ， 與 的內積最大值就是 的對偶範數，對偶範數也可以解釋為 的運算元範數。

對偶空間

給定一個係數域為 賦范向量空間（比如說一個巴拿赫空間）E（其中 通常是實數域 或複數域 ），所有從E到 上的連續線性映射（也稱為連續線性泛函）的集合稱為E的（連續）對偶空間，記作：E'。

證明

可以證明，E′是一個向量空間。其上可以裝備不同的範數。對偶範數（ ）是一種自然的範數定義方式，定義為：

由於E′中的元素的是連續線性泛函，所以按照以上定義的範數必然存在，是一個有限正實數。引進了對偶範數後，E′成為一個賦范線性空間。可以證明，E′在對偶範數下必然是完備的，所以E′是巴拿赫空間。

性質

對偶範數的對偶就是原範數：在有限維的向量空間中，對所有 有 .

1. 向量範數
   lp互lq互為對偶函式，需要滿足條件：
   

2. 矩陣範數

矩陣的譜範數的對偶範數為核範數。

例子

給定兩個大於1的實數p和q。如果兩者滿足： ，那么序列空間 和 互相是對偶空間（在同構的意義上）。 裝備的是序列p-範數之時，它的對偶空間裝備的對偶範數可以和裝備了序列q-範數的 建立等距同構。當p=q=2時，以上性質說明， 和自身對偶。