完全四點形

完全四點形

完全四點形(complete quadrangle)是一種特殊的完全n點形。由平面上四個點(其中無三點共線)及其兩兩連結的六條直線所組成的圖形稱為完全四點形。這四個點稱為它的頂點,六條直線稱為它的邊,沒有公共頂點的兩邊稱為它的對邊,對邊的交點稱為它的對邊點,三對邊點所構成的三點形稱為它的對邊三點形(或中心三點形)。

基本介紹

  • 中文名:完全四點形
  • 外文名:complete quadrangle
  • 領域:數學
  • 屬性:一種特殊的完全n點形
  • 套用:高等幾何
  • 性質:三點共線理論、調和性等
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完全四點形定義及其性質

定義:平面上四個點(無三點共線)以及聯結其中任意兩點的六條直線所組成的圖形稱為完全四點形。
性質 :
(1)性質1:在完全四點形的對邊三點形的每一條邊上有一組調和共軛點,其中兩個點是對邊點,另外兩個點是這條邊與通過第三個對邊點的一對對邊的交點。
(2)性質2 :在完全四點形的的每一條邊上有一組調和共軛點,其中兩個點是頂點,另外一對點偶里,一個點是對邊點,另外一個點是這個邊與對邊三點形的邊的交點。

完全四點形中三點共線理論

定義:平面內無三點共線的四點及其兩兩連線所構成的圖形,叫做完全四點形。三對對邊的交點構成的三角形稱為三點形。
圖1 完全四點形的三點共線圖圖1 完全四點形的三點共線圖
定理:完全四點形的任意三點構成的三角形與其三點形應邊的交點共線。
證明:如圖1,由於S是△QRP與△ABC的對應頂點的連線的交點,設其三雙對應邊的交點分別為:BC與RQ的交點為A1,AC與RP的交點為B1,AB與PQ的交點為C1,則根據笛薩格定理,得到A1、B1、C1共線。
因為PQRS是完全四點形,因此可以得到以下結論:
(1)若以R為兩個三角形△QPS與△ABC的對應頂點的連線的交點,設其三雙對應邊QP與AB的交點為C1,QS與AC的交點為M,PS與BC的交點為N,則C1、M、N三點共線。
(2)若以P為兩個三角形△ABC與△SRQ的對應頂點的連線的交點,設其三雙對應邊AB與SR的交點為D,AC與SQ的交點為M,BC與RQ的交點為A,則D、M、A三點共線。
(3)若以Q為兩個三角形△ABC與△RSP的對應頂點的連線的交點,設其三雙對應邊AB與RS的交點為D,AC與PR的交點為B,BC與SP的交點為N,則D、N、B三點共線。

完全四點形的調和性

完全四點形的調和性是高等幾何的一項重要內容, 在幾何學中占有重要地位。 它對初等幾何的研究亦具有重要的指導意義。比如說,它在初等幾何的平分角度問題、共點共線問題、中點問題、線段比值問題及平行性等問題的研究中都有廣泛的套用。
調和性內容如下:
(1)完全四點形(圖2中的四點形ABCD)的兩個對邊點X、Y的連線交第三對對邊於S、T,則(XY,ST) =-1。
圖2圖2
(2)完全四線形 (圖3中的四線形abcd)的兩條對頂線x、 y的交點O與第三對對頂點相連得直線 s、t,則(xy,st) = –1。
(3)在完全四點形的對邊三點形的每條邊上,有一個調和點組,其中一對為對邊點,另一對為該邊與第三組對邊的交點。
(4)在完全四點形的每條邊上有一個調和點組,其中一對為頂點,另一對中一個為對邊點,一個為該邊與對邊三點形的邊的交點。
圖3圖3

調和性在初等幾何中的套用

解決平分角問題

例1:如圖4, AD 垂直於 BC,M 是 AD 上的任意一點,BM 交 AC 於 E,CM交 AB 於 F,證明 :AD 、BC 平分 DE 與 DF 所成的角。
圖4圖4
證明:連直線 EF 分別交直線 AD、BC 於 X,Y。考察完全四點形 AFME ,由完全四點形的調和性,得 (EF, XY) = – 1, 即 D(EF, XY) = – 1 ,又因為 DX⊥DY ,所以 AD 、BC 平分∠ EDF。

解決平分線段問題

例 2:求證梯形兩腰延長線的交點與對角線的交點連線平分上下底。
圖5圖5
證明:如圖5,四邊形 ABCD 為梯形,AD//BC,E、F 分別為兩腰和對角線的交點。EF 交 AD,BC 於 P、Q。考察完全四點形 EAFD。設 AD ×BC=G∞。由完全四點形的調和性知 (BC, QG∞) = –1,因為 AD//BC,故 G∞是無窮遠點,從而 Q為 BC 的中點。

解決點共線問題

例 3:求證三角形的三條外角平分線和對邊相交所得三點共線。
圖6圖6
證明:如圖6所示, ABC 的三條外角平分線與對邊交與G,H,I。設 ABC 的三條內角平分線交與點M。 AD、BE、CF 交與點 M,則有迪沙格定理知,兩個三角形對應邊連線的交點共線。 設 AB 與DE 交與 G’,AC 與 DF 交與 H’,BC 與 EF 交與 I’,則 G’、H’、I’三點共線。又 ACB 的外角平分線交AB 與 G,ABC 的外角平分線交 AC 與 H, CAB 的外角平分線交 BC 與 I,所以有(BA,FG)=-1,(BC,DI)=-1,(CA,EH)=-1. 在完全四點形 CDME 中由調和性知(BA, FG’)=-1。所以有( BA,FG)=(BA ,FG’)=-1.,即 G 與 G’重合。同理可知, H 與 H’,I 與 I’重合,所以 G,H,I 三點共線。

解決作圖問題

例 4:用無刻度直尺完成以下作圖:已知一線段 BC 中點 Q 及其線外一點 A,求過 A 作該線段的平行線。
方法:
(1)連線 BA ,並在其延長線上取一點 E。
(2)連線 CA , QE 交與點 F。
(3)連線 BF、CE 交與點 D。
(4)連線 AD ,則直線 AD 為所求直線。

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