完全n線形

完全n線形(complete n-side)是一種簡單的平面圖形，是由平面上的n條直線(n≥3，其中無三線共點)及它們每兩條直線的交點所組成的平面圖形。這n條直線稱為完全n線形的邊，n(n-1)/2個交點稱為完全n線形的頂點，完全n線形的對偶圖形是完全n點形。

基本介紹

• 中文名：完全n線形
• 外文名：complete n-side
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(射影幾何)
• 舉例：完全三線形、完全四線形等

基本介紹

完全n點形指n個點(其中無三點共線)及其每二點連線所構成的圖形，不難看出，完全n點形共有n個頂點，條邊。

完全n線形指n條直線(其中無三線共點)及其每二條直線的交點所構成的圖形。不難看出，完全n線形共有n條邊，個頂點。

舉例說明

完全形與初等幾何中的n邊形沒有任何共同之處，對於給定的n個點(其中無三點共線)或n條線(其中無三線共點)，由其決定的完全n點形或完全n線形是惟一的。

最常見的例子是n=3，三點形與三線形(如表1)，這是一對自對偶圖形。

最重要的例子是完全四點形與完全四線形，因為這一對圖形中蘊含著十分重要的射影性質，其套用將在今後無可避免地反覆出現，一定要熟練地掌握這一對對偶圖形。

表3

名稱	完全四點形ABCD	名稱	完全四線形abcd
頂點	A,B,C,D (4個)	頂點	P,Q; R,S; T,U; axc,bxd；axb，cxd；axd，bxc(6個)
邊	p,q；r,s；t,u; AC,BD;AB,CD;AD,BC(6條)	邊	a,b,c,d （4條）
對邊	沒有公共頂點的邊; p,q；r,s；t,u (3組)	對頂	不在同一條邊上的頂點。; P,Q; R,S; T,U (三組)
對邊點	對邊的交點; X, Y, Z; pxq； rxs； txu (3個)	對頂線	對頂的連線; x, y, z; PQ; RS; TU (3條)
對邊三點形	三點形XYZ	對頂三角形	三線形xyz

完全四點形和完全四線形的調和性質

由完全n點形和完全n線形定義可得完全四點形和完全四線形圖形如下；

我們且規定以下名稱：

完全四點形上不通過同一個頂點的兩條邊叫做對邊。有三對：(圖1)AB和CD，AD和BC，AC和BD。每對對邊的交點叫做對角點。有三個：L，M，N。它們構成一個對角三點形。對角點的連線叫做對角線。有三條：LM，MN，NL。

完全四線形上不在同一條邊上的兩個頂點叫做對頂點。有三對：(圖2)a×b和cxd，a×d和b×c，a×c和bxd，每對對頂點的連線叫做對角線。有三條：l，m，n。它們構成一個對角三線形。對角線的交點叫做對角點。有三個：lxm，m×n，n×l。

完全四點形和完全四線形有以下調和性質：

定理1 設E是一個完全四點形ABCD的對角點ACxBD，且P，Q是另外兩個對角點。則(EP，EQ；AC，BD)=-1。

定理1' 設e是一個完全四線形abcd的對角線(axc)x(bxd)。且p，q是另外兩條對角線。則(exp，exq；axc，bxd)=-1。

（關於定理的證明請參考相關文獻）

且有以下推論：

推論1 在完全四點形中，對角三點形的每條邊上均有一組調和共軛點：兩對角點及該邊與過第三個對角點的一對對邊的交點。如(P，Q；M，N )=-1， (Q，E；L，K)=-1，(P，E；F，R)=-1。

推論2 在完全四點形的每條邊上，均有一組調和共軛點：兩頂點及該邊與對角線的交點。如

(A，B；P，L)=-1，(B，C；Q，R)=-1，(C，D；K，P)=-1，(D，A；F，Q)=-1，(A，C；M，E)=-1，( B，D；N，E)=-1。

當然，對於完全四線形有這兩個推論的對偶命題。