完全n線形

完全n線形

完全n線形(complete n-side)是一種簡單的平面圖形,是由平面上的n條直線(n≥3,其中無三線共點)及它們每兩條直線的交點所組成的平面圖形。這n條直線稱為完全n線形的邊,n(n-1)/2個交點稱為完全n線形的頂點,完全n線形的對偶圖形是完全n點形。

基本介紹

  • 中文名:完全n線形
  • 外文名:complete n-side
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:高等幾何(射影幾何)
  • 舉例:完全三線形、完全四線形等
基本介紹,舉例說明,完全四點形和完全四線形的調和性質,

基本介紹

完全n點形指n個點(其中無三點共線)及其每二點連線所構成的圖形,不難看出,完全n點形共有n個頂點,
條邊。
完全n線形指n條直線(其中無三線共點)及其每二條直線的交點所構成的圖形。不難看出,完全n線形共有n條邊,
個頂點。

舉例說明

完全形與初等幾何中的n邊形沒有任何共同之處,對於給定的n個點(其中無三點共線)或n條線(其中無三線共點),由其決定的完全n點形或完全n線形是惟一的。
最常見的例子是n=3,三點形與三線形(如表1),這是一對自對偶圖形
最重要的例子是完全四點形與完全四線形,因為這一對圖形中蘊含著十分重要的射影性質,其套用將在今後無可避免地反覆出現,一定要熟練地掌握這一對對偶圖形。
表3
名稱
完全四點形ABCD
名稱
完全四線形abcd
頂點
A,B,C,D (4個)
頂點
P,Q; R,S; T,U
axc,bxd;axb,cxd;axd,bxc(6個)
p,q;r,s;t,u
AC,BD;AB,CD;AD,BC(6條)
a,b,c,d (4條)
對邊
沒有公共頂點的邊
p,q;r,s;t,u (3組)
對頂
不在同一條邊上的頂點。
P,Q; R,S; T,U (三組)
對邊點
對邊的交點
X, Y, Z
pxq; rxs; txu (3個)
對頂線
對頂的連線
x, y, z
PQ; RS; TU (3條)
對邊三點形
三點形XYZ
對頂三角形
三線形xyz

完全四點形和完全四線形的調和性質

由完全n點形和完全n線形定義可得完全四點形和完全四線形圖形如下;
我們且規定以下名稱:
完全四點形上不通過同一個頂點的兩條邊叫做對邊。有三對:(圖1)AB和CD,AD和BC,AC和BD。每對對邊的交點叫做對角點。有三個:L,M,N。它們構成一個對角三點形。對角點的連線叫做對角線。有三條:LM,MN,NL。
完全四線形上不在同一條邊上的兩個頂點叫做對頂點。有三對:(圖2)a×b和cxd,a×d和b×c,a×c和bxd,每對對頂點的連線叫做對角線。有三條:l,m,n。它們構成一個對角三線形。對角線的交點叫做對角點。有三個:lxm,m×n,n×l。
完全四點形和完全四線形有以下調和性質:
定理1 設E是一個完全四點形ABCD的對角點ACxBD,且P,Q是另外兩個對角點。則(EP,EQ;AC,BD)=-1。
定理1' 設e是一個完全四線形abcd的對角線(axc)x(bxd)。且p,q是另外兩條對角線。則(exp,exq;axc,bxd)=-1。
(關於定理的證明請參考相關文獻)
且有以下推論:
推論1 在完全四點形中,對角三點形的每條邊上均有一組調和共軛點:兩對角點及該邊與過第三個對角點的一對對邊的交點。如(P,Q;M,N )=-1, (Q,E;L,K)=-1,(P,E;F,R)=-1。
推論2 在完全四點形的每條邊上,均有一組調和共軛點:兩頂點及該邊與對角線的交點。如
(A,B;P,L)=-1,(B,C;Q,R)=-1,(C,D;K,P)=-1,(D,A;F,Q)=-1,(A,C;M,E)=-1,( B,D;N,E)=-1。
當然,對於完全四線形有這兩個推論的對偶命題。 

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們